Pré-cálculo Exemplos

$3 (2^{2 x}) - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $2^{2 x}$ como ${(2^{x})}^{2}$ .

$3 \cdot {(2^{x})}^{2} - 11 \cdot 2^{x} - 4 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = 2^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $2^{x}$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Etapa 1.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ e cuja soma é $b = - 11$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 u$ .

$3 u^{2} - 11 u - 4 = 0$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva $- 11$ como $1$ mais $- 12$

$3 u^{2} + (1 - 12) u - 4 = 0$

Etapa 1.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 u^{2} + 1 u - 12 u - 4 = 0$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$3 u^{2} + u - 12 u - 4 = 0$

Etapa 1.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 u^{2} + u) - 12 u - 4 = 0$

Etapa 1.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (3 u + 1) - 4 (3 u + 1) = 0$

Etapa 1.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u - 4) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2^{x}$ .

$(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

$2^{x} - 4 = 0$

Etapa 3

Defina $3 \cdot 2^{x} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $3 \cdot 2^{x} + 1$ como igual a $0$ .

$3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $3 \cdot 2^{x} + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 \cdot 2^{x} = - 1$

Etapa 3.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3 \cdot 2^{x}) = \ln (- 1)$

Etapa 3.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 1)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.2.4

Não há uma solução para $3 \cdot 2^{x} = - 1$

Nenhuma solução

Etapa 4

Defina $2^{x} - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $2^{x} - 4$ como igual a $0$ .

$2^{x} - 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2^{x} - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$2^{x} = 4$

Etapa 4.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{2}$

Etapa 4.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 2$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(3 \cdot 2^{x} + 1) (2^{x} - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2$