Pré-cálculo Exemplos

$240 = x (x + 7) (18 - 2 x)$

Etapa 1

Reescreva a equação como $x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$ .

$x (x + 7) (18 - 2 x) = 240$

Etapa 2

Simplifique $x (x + 7) (18 - 2 x)$ .

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Etapa 2.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Etapa 2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 7) (18 - 2 x) = 240$

Etapa 2.1.2.2

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$(x^{2} + 7 \cdot x) (18 - 2 x) = 240$

Etapa 2.2

Expanda $(x^{2} + 7 x) (18 - 2 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (18 - 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x (18 - 2 x) = 240$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \cdot 18 + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Mova $18$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$18 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$18 x^{2} - 2 x^{2} x + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.3.1

Mova $x$ .

$18 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Etapa 2.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$18 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Etapa 2.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$18 x^{2} - 2 x^{1 + 2} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Etapa 2.3.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 7 x \cdot 18 + 7 x (- 2 x) = 240$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $18$ por $7$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 x (- 2 x) = 240$

Etapa 2.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x \cdot x = 240$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.6.1

Mova $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 (x \cdot x) = 240$

Etapa 2.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x + 7 \cdot - 2 x^{2} = 240$

Etapa 2.3.1.7

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$18 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 14 x^{2} = 240$

Etapa 2.3.2

Subtraia $14 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x = 240$

Etapa 3

Subtraia $240$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Fatore $2$ de $4 x^{2} - 2 x^{3} + 126 x - 240$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 2 x^{3} + 126 x - 240 = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 126 x - 240 = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $2$ de $126 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) - 240 = 0$

Etapa 4.1.4

Fatore $2$ de $- 240$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Etapa 4.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- x^{3})$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x) + 2 (- 120) = 0$

Etapa 4.1.6

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2} - x^{3}) + 2 (63 x)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120) = 0$

Etapa 4.1.7

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x) + 2 (- 120)$ .

$2 (2 x^{2} - x^{3} + 63 x - 120) = 0$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$2 (- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120) = 0$

Etapa 4.3

Fatore.

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Etapa 4.3.1

Fatore $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.3.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

$q = \pm 1$

Etapa 4.3.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 120, \pm 2, \pm 60, \pm 3, \pm 40, \pm 4, \pm 30, \pm 5, \pm 24, \pm 6, \pm 20, \pm 8, \pm 15, \pm 10, \pm 12$

Etapa 4.3.1.3

Substitua $8$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $8$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.3.1.3.1

Substitua $8$ no polinômio.

$- 8^{3} + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Etapa 4.3.1.3.2

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Etapa 4.3.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $512$ .

$- 512 + 2 \cdot 8^{2} + 63 \cdot 8 - 120$

Etapa 4.3.1.3.4

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$- 512 + 2 \cdot 64 + 63 \cdot 8 - 120$

Etapa 4.3.1.3.5

Multiplique $2$ por $64$ .

$- 512 + 128 + 63 \cdot 8 - 120$

Etapa 4.3.1.3.6

Some $- 512$ e $128$ .

$- 384 + 63 \cdot 8 - 120$

Etapa 4.3.1.3.7

Multiplique $63$ por $8$ .

$- 384 + 504 - 120$

Etapa 4.3.1.3.8

Some $- 384$ e $504$ .

$120 - 120$

Etapa 4.3.1.3.9

Subtraia $120$ de $120$ .

$0$

Etapa 4.3.1.4

Como $8$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 8$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120}{x - 8}$

Etapa 4.3.1.5

Divida $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ por $x - 8$ .

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Etapa 4.3.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$8$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$63 x$

$120$

Etapa 4.3.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$

Etapa 4.3.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Etapa 4.3.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + 8 x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Etapa 4.3.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Etapa 4.3.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Etapa 4.3.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$

Etapa 4.3.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$48 x$

Etapa 4.3.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x^{2} + 48 x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$

Etapa 4.3.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$

Etapa 4.3.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Etapa 4.3.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $15 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$

Etapa 4.3.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							+	$15 x$	-	$120$

Etapa 4.3.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $15 x - 120$ .

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$

Etapa 4.3.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$6 x$	+	$15$
$x$	-	$8$	-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$63 x$	-	$120$
			+	$x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$63 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$48 x$
							+	$15 x$	-	$120$
							-	$15 x$	+	$120$
										$0$

Etapa 4.3.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} - 6 x + 15$

Etapa 4.3.1.6

Escreva $- x^{3} + 2 x^{2} + 63 x - 120$ como um conjunto de fatores.

$2 ((x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15)) = 0$

Etapa 4.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Etapa 6

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 6.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 7

Defina $- x^{2} - 6 x + 15$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $- x^{2} - 6 x + 15$ como igual a $0$ .

$- x^{2} - 6 x + 15 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $- x^{2} - 6 x + 15 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2.2

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = - 6$ e $c = 15$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 15)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 1 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot 15$ .

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Etapa 7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4 \cdot 15}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2.3.1.2.2

Multiplique $4$ por $15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2.3.1.3

Some $36$ e $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2.3.1.4

Reescreva $96$ como $4^{2} \cdot 6$ .

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Etapa 7.2.3.1.4.1

Fatore $16$ de $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2.3.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$

Etapa 7.2.3.3

Simplifique $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{- 2}$ .

$x = \frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$

Etapa 7.2.3.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{3 \pm 2 \sqrt{6}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Etapa 7.2.3.5

Reescreva $- 1 \cdot (3 \pm 2 \sqrt{6})$ como $- (3 \pm 2 \sqrt{6})$ .

$x = - (3 \pm 2 \sqrt{6})$

Etapa 7.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 8) (- x^{2} - 6 x + 15) = 0$ verdadeiro.

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 8, - 3 - 2 \sqrt{6}, - 3 + 2 \sqrt{6}$

Forma decimal:

$x = 8, - 7.89897948 \dots, 1.89897948 \dots$