Pré-cálculo Exemplos

$20 {(1.07)}^{x} = 8 {(1.13)}^{x}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (20 \cdot {1.07}^{x}) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Reescreva $\ln (20 \cdot {1.07}^{x})$ como $\ln (20) + \ln ({1.07}^{x})$ .

$\ln (20) + \ln ({1.07}^{x}) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({1.07}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8 \cdot {1.13}^{x})$

Etapa 3

Expanda o lado direito.

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Etapa 3.1

Reescreva $\ln (8 \cdot {1.13}^{x})$ como $\ln (8) + \ln ({1.13}^{x})$ .

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8) + \ln ({1.13}^{x})$

Etapa 3.2

Expanda $\ln ({1.13}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (20) + x \ln (1.07) = \ln (8) + x \ln (1.13)$

Etapa 4

Reordene $\ln (20)$ e $x \ln (1.07)$ .

$x \ln (1.07) + \ln (20) = \ln (8) + x \ln (1.13)$

Etapa 5

Reordene $\ln (8)$ e $x \ln (1.13)$ .

$x \ln (1.07) + \ln (20) = x \ln (1.13) + \ln (8)$

Etapa 6

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (1.07) + \ln (20) - x \ln (1.13) - \ln (8) = 0$

Etapa 7

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{20}{8}) = 0$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $20$ e $8$ .

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Etapa 8.1

Fatore $4$ de $20$ .

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 (5)}{8}) = 0$

Etapa 8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2}) = 0$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum.

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2}) = 0$

Etapa 8.2.3

Reescreva a expressão.

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) + \ln (\frac{5}{2}) = 0$

Etapa 9

Subtraia $\ln (\frac{5}{2})$ dos dois lados da equação.

$x \ln (1.07) - x \ln (1.13) = - \ln (\frac{5}{2})$

Etapa 10

Fatore $x$ de $x \ln (1.07) - x \ln (1.13)$ .

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Etapa 10.1

Fatore $x$ de $x \ln (1.07)$ .

$x (\ln (1.07)) - x \ln (1.13) = - \ln (\frac{5}{2})$

Etapa 10.2

Fatore $x$ de $- x \ln (1.13)$ .

$x (\ln (1.07)) + x (- 1 \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

Etapa 10.3

Fatore $x$ de $x (\ln (1.07)) + x (- 1 \ln (1.13))$ .

$x (\ln (1.07) - 1 \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

Etapa 11

Reescreva $- 1 \ln (1.13)$ como $- \ln (1.13)$ .

$x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$

Etapa 12

Divida cada termo em $x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$ por $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ e simplifique.

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Etapa 12.1

Divida cada termo em $x (\ln (1.07) - \ln (1.13)) = - \ln (\frac{5}{2})$ por $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ .

$\frac{x (\ln (1.07) - \ln (1.13))}{\ln (1.07) - \ln (1.13)} = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Etapa 12.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (1.07) - \ln (1.13)$ .

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Etapa 12.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (1.07) - \ln (1.13))}{\ln (1.07) - \ln (1.13)} = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Etapa 12.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Etapa 12.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{\ln (\frac{5}{2})}{\ln (1.07) - \ln (1.13)}$

Forma decimal:

$x = 16.79449763 \dots$