Pré-cálculo Exemplos

$20 y^{- 2} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{y^{2}} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

Etapa 1.2

Combine $20$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{20}{y^{2}} - 20 y^{- 1} + 32 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{y^{2}} - 20 \frac{1}{y} + 32 = 0$

Etapa 1.4

Combine $- 20$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{20}{y^{2}} + \frac{- 20}{y} + 32 = 0$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{2}, y, 1, 1$

Etapa 2.2

Since $y^{2}, y, 1, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $y^{2}, y^{1}$ .

Etapa 2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

O MMC de $1, 1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.6

Os fatores para $y^{2}$ são $y \cdot y$ , que é $y$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 2.7

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O MMC de $y^{2}, y^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y \cdot y$

Etapa 2.9

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2}$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$ por $y^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{20}{y^{2}} - \frac{20}{y} + 32 = 0$ por $y^{2}$ .

$\frac{20}{y^{2}} y^{2} - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20}{y^{2}} y^{2} - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$20 - \frac{20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{20}{y}$ para o numerador.

$20 + \frac{- 20}{y} y^{2} + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 3.2.1.2.2

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$20 + \frac{- 20}{y} (y \cdot y) + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 3.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$20 + \frac{- 20}{y} (y \cdot y) + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 3.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$20 - 20 y + 32 y^{2} = 0 y^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $0$ por $y^{2}$ .

$20 - 20 y + 32 y^{2} = 0$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Fatore $4$ de $20 - 20 y + 32 y^{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $4$ de $20$ .

$4 (5) - 20 y + 32 y^{2} = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $4$ de $- 20 y$ .

$4 (5) + 4 (- 5 y) + 32 y^{2} = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $4$ de $32 y^{2}$ .

$4 (5) + 4 (- 5 y) + 4 (8 y^{2}) = 0$

Etapa 4.1.4

Fatore $4$ de $4 (5) + 4 (- 5 y)$ .

$4 (5 - 5 y) + 4 (8 y^{2}) = 0$

Etapa 4.1.5

Fatore $4$ de $4 (5 - 5 y) + 4 (8 y^{2})$ .

$4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $4 (5 - 5 y + 8 y^{2}) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (5 - 5 y + 8 y^{2})}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (5 - 5 y + 8 y^{2})}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $5 - 5 y + 8 y^{2}$ por $1$ .

$5 - 5 y + 8 y^{2} = \frac{0}{4}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$5 - 5 y + 8 y^{2} = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 8$ , $b = - 5$ e $c = 5$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (8 \cdot 5)}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 8 \cdot 5}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 8 \cdot 5$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $8$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 32 \cdot 5}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $- 32$ por $5$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 160}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.1.3

Subtraia $160$ de $25$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 135}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.1.4

Reescreva $- 135$ como $- 1 (135)$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 135}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (135)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{135}$ .

$y = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{135}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{135}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.1.7

Reescreva $135$ como $3^{2} \cdot 15$ .

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Etapa 4.5.1.7.1

Fatore $9$ de $135$ .

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{9 (15)}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{5 \pm i \cdot (3 \sqrt{15})}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$y = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{15}}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$y = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{15}}{16}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{5 + 3 i \sqrt{15}}{16}, \frac{5 - 3 i \sqrt{15}}{16}$