Pré-cálculo Exemplos

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{1 + \tan^{2} (y)}$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique $\frac{1 - \tan^{2} (y)}{1 + \tan^{2} (y)}$ .

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Etapa 1.1.1

Reorganize os termos.

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{\tan^{2} (y) + 1}$

Etapa 1.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\cos (2 y) = \frac{1 - \tan^{2} (y)}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\cos (2 y) = \frac{1^{2} - \tan^{2} (y)}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 1.1.3.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \tan (y)$ .

$\cos (2 y) = \frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)}$

Etapa 2

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$\frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} = \cos (2 y)$

Etapa 3

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Subtraia $\cos (2 y)$ dos dois lados da equação.

$\frac{(1 + \tan (y)) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva $\tan (y)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \tan (y))}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $\tan (y)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\sec^{2} (y)} - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $\sec (y)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{{(\frac{1}{\cos (y)})}^{2}} - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (y)}} - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})}{\frac{1}{\cos^{2} (y)}} - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.4

Expanda $(1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.5.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$(1 + 1 (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.2

Multiplique $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ por $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot 1 + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.3

Multiplique $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ por $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} (- \frac{\sin (y)}{\cos (y)})) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.5

Multiplique $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

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Etapa 3.2.5.1.5.1

Multiplique $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ por $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin (y) \sin (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.5.2

Eleve $\sin (y)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{1} (y) \sin (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.5.3

Eleve $\sin (y)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{{\sin (y)}^{1 + 1}}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.5.6

Eleve $\cos (y)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{1} (y) \cos (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.5.7

Eleve $\cos (y)$ à potência de $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{1} (y) \cos^{1} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{{\cos (y)}^{1 + 1}}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.1.5.9

Some $1$ e $1$ .

$(1 - \frac{\sin (y)}{\cos (y)} + \frac{\sin (y)}{\cos (y)} - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.2

Some $- \frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ e $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ .

$(1 + 0 - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.5.3

Some $1$ e $0$ .

$(1 - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}) \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cos^{2} (y) - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.7

Multiplique $\cos^{2} (y)$ por $1$ .

$\cos^{2} (y) - \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.8

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (y)$ .

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Etapa 3.2.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)}$ para o numerador.

$\cos^{2} (y) + \frac{- \sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.8.2

Cancele o fator comum.

$\cos^{2} (y) + \frac{- \sin^{2} (y)}{\cos^{2} (y)} \cos^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.8.3

Reescreva a expressão.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.2.9

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 y) - \cos (2 y) = 0$

Etapa 3.3

Subtraia $\cos (2 y)$ de $\cos (2 y)$ .

$0 = 0$

Etapa 4

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira para qualquer valor de $y$ .

Todos os números reais

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Todos os números reais

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$