Pré-cálculo Exemplos

$x = \frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} = x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $1 + 2 e^{y}$ .

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $1 + 2 e^{y}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y}}{1 + 2 e^{y}} (1 + 2 e^{y}) = x (1 + 2 e^{y})$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{y} = x (1 + 2 e^{y})$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $x (1 + 2 e^{y})$ .

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{y} = x \cdot 1 + x (2 e^{y})$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{y} = x + x (2 e^{y})$

Etapa 3.2.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{y} = x + 2 x e^{y}$

Etapa 4

Resolva $y$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $2 x e^{y}$ dos dois lados da equação.

$e^{y} - 2 x e^{y} = x$

Etapa 4.2

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} - 2 x e^{y}$ .

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Etapa 4.2.1

Multiplique por $1$ .

$e^{y} \cdot 1 - 2 x e^{y} = x$

Etapa 4.2.2

Fatore $e^{y}$ de $- 2 x e^{y}$ .

$e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x) = x$

Etapa 4.2.3

Fatore $e^{y}$ de $e^{y} \cdot 1 + e^{y} (- 2 x)$ .

$e^{y} (1 - 2 x) = x$

Etapa 4.3

Divida cada termo em $e^{y} (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ e simplifique.

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Etapa 4.3.1

Divida cada termo em $e^{y} (1 - 2 x) = x$ por $1 - 2 x$ .

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum de $1 - 2 x$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{y} (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Etapa 4.3.2.1.2

Divida $e^{y}$ por $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Etapa 4.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Etapa 4.5

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 4.5.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Etapa 4.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$

Etapa 4.5.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{1 - 2 x})$