Pré-cálculo Exemplos

$z^{3} = - 343$

Etapa 1

Some $343$ aos dois lados da equação.

$z^{3} + 343 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $343$ como $7^{3}$ .

$z^{3} + 7^{3} = 0$

Etapa 2.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = z$ e $b = 7$ .

$(z + 7) (z^{2} - z \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$(z + 7) (z^{2} - 7 z + 7^{2}) = 0$

Etapa 2.3.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$(z + 7) (z^{2} - 7 z + 49) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$z + 7 = 0$

$z^{2} - 7 z + 49 = 0$

Etapa 4

Defina $z + 7$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 4.1

Defina $z + 7$ como igual a $0$ .

$z + 7 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$z = - 7$

Etapa 5

Defina $z^{2} - 7 z + 49$ como igual a $0$ e resolva para $z$ .

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Etapa 5.1

Defina $z^{2} - 7 z + 49$ como igual a $0$ .

$z^{2} - 7 z + 49 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $z^{2} - 7 z + 49 = 0$ para $z$ .

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Etapa 5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 7$ e $c = 49$ na fórmula quadrática e resolva $z$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 49)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3

Simplifique.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1.1

Eleve $- 7$ à potência de $2$ .

$z = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 49$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$z = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 49}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $49$ .

$z = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 196}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.3

Subtraia $196$ de $49$ .

$z = \frac{7 \pm \sqrt{- 147}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.4

Reescreva $- 147$ como $- 1 (147)$ .

$z = \frac{7 \pm \sqrt{- 1 \cdot 147}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (147)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}$ .

$z = \frac{7 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$z = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{147}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.7

Reescreva $147$ como $7^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 5.2.3.1.7.1

Fatore $49$ de $147$ .

$z = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{49 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.7.2

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$z = \frac{7 \pm i \cdot \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$z = \frac{7 \pm i \cdot (7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.1.9

Mova $7$ para a esquerda de $i$ .

$z = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$z = \frac{7 \pm 7 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$z = \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(z + 7) (z^{2} - 7 z + 49) = 0$ verdadeiro.

$z = - 7, \frac{7 + 7 i \sqrt{3}}{2}, \frac{7 - 7 i \sqrt{3}}{2}$