Pré-cálculo Exemplos

$6 w^{4} - 17 w^{2} + 12 = 0$

Etapa 1

Substitua $u = w^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$6 u^{2} - 17 u + 12 = 0$

$u = w^{2}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot 12 = 72$ e cuja soma é $b = - 17$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $- 17$ de $- 17 u$ .

$6 u^{2} - 17 u + 12 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 17$ como $- 8$ mais $- 9$

$6 u^{2} + (- 8 - 9) u + 12 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 u^{2} - 8 u - 9 u + 12 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(6 u^{2} - 8 u) - 9 u + 12 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 u (3 u - 4) - 3 (3 u - 4) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u - 4$ .

$(3 u - 4) (2 u - 3) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 u - 4 = 0$

$2 u - 3 = 0$

Etapa 4

Defina $3 u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $3 u - 4$ como igual a $0$ .

$3 u - 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3 u - 4 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 u = 4$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $3 u = 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $3 u = 4$ por $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 u}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{4}{3}$

Etapa 5

Defina $2 u - 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina $2 u - 3$ como igual a $0$ .

$2 u - 3 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 u - 3 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 u = 3$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 u = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 3$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{3}{2}$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 u - 4) (2 u - 3) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{4}{3}, \frac{3}{2}$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = w^{2}$ de volta na equação resolvida.

$w^{2} = \frac{4}{3}$

${(w^{2})}^{1} = \frac{3}{2}$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $w$ .

$w^{2} = \frac{4}{3}$

Etapa 9

Resolva a equação para $w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$w = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.2.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 9.2.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 9.2.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 9.2.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 9.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 9.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 9.2.4.6.5

Avalie o expoente.

$w = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$w = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $w$ .

${(w^{2})}^{1} = \frac{3}{2}$

Etapa 11

Resolva a equação para $w$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$w^{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$w = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$

Etapa 11.3

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{2}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 11.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 11.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 11.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 11.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 11.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 11.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$w = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2}$

Etapa 11.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$w = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2}$

Etapa 11.3.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$w = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$w = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$w = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$w = \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 12

A solução para $6 w^{4} - 17 w^{2} + 12 = 0$ é $w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$w = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Forma decimal:

$w = 1.15470053 \dots, - 1.15470053 \dots, 1.22474487 \dots, - 1.22474487 \dots$