Pré-cálculo Exemplos

$\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$r - 5, r + 5, 1$

Etapa 1.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 1.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 1.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 1.5

O fator de $r - 5$ é o próprio $r - 5$ .

$(r - 5) = r - 5$

$(r - 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.6

O fator de $r + 5$ é o próprio $r + 5$ .

$(r + 5) = r + 5$

$(r + 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 1.7

O MMC de $r - 5, r + 5$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(r - 5) (r + 5)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$ por $(r - 5) (r + 5)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{10}{r - 5} + \frac{10}{r + 5} = 3$ por $(r - 5) (r + 5)$ .

$\frac{10}{r - 5} ((r - 5) (r + 5)) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum de $r - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{r - 5} ((r - 5) (r + 5)) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$10 (r + 5) + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$10 r + 10 \cdot 5 + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $10$ por $5$ .

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r - 5) (r + 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.1.4

Cancele o fator comum de $r + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.4.1

Fatore $r + 5$ de $(r - 5) (r + 5)$ .

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r + 5) (r - 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$10 r + 50 + \frac{10}{r + 5} ((r + 5) (r - 5)) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$10 r + 50 + 10 (r - 5) = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$10 r + 50 + 10 r + 10 \cdot - 5 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.1.6

Multiplique $10$ por $- 5$ .

$10 r + 50 + 10 r - 50 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Combine os termos opostos em $10 r + 50 + 10 r - 50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Subtraia $50$ de $50$ .

$10 r + 10 r + 0 = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.2.1.2

Some $10 r + 10 r$ e $0$ .

$10 r + 10 r = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.2.2.2

Some $10 r$ e $10 r$ .

$20 r = 3 ((r - 5) (r + 5))$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Expanda $(r - 5) (r + 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$20 r = 3 (r (r + 5) - 5 (r + 5))$

Etapa 2.3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$20 r = 3 (r \cdot r + r \cdot 5 - 5 (r + 5))$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$20 r = 3 (r \cdot r + r \cdot 5 - 5 r - 5 \cdot 5)$

Etapa 2.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Combine os termos opostos em $r \cdot r + r \cdot 5 - 5 r - 5 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $r \cdot 5$ e $- 5 r$ .

$20 r = 3 (r \cdot r + 5 r - 5 r - 5 \cdot 5)$

Etapa 2.3.2.1.2

Subtraia $5 r$ de $5 r$ .

$20 r = 3 (r \cdot r + 0 - 5 \cdot 5)$

Etapa 2.3.2.1.3

Some $r \cdot r$ e $0$ .

$20 r = 3 (r \cdot r - 5 \cdot 5)$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Multiplique $r$ por $r$ .

$20 r = 3 (r^{2} - 5 \cdot 5)$

Etapa 2.3.2.2.2

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$20 r = 3 (r^{2} - 25)$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$20 r = 3 r^{2} + 3 \cdot - 25$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $3$ por $- 25$ .

$20 r = 3 r^{2} - 75$

Etapa 3

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia $3 r^{2}$ dos dois lados da equação.

$20 r - 3 r^{2} = - 75$

Etapa 3.2

Some $75$ aos dois lados da equação.

$20 r - 3 r^{2} + 75 = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = - 3$ , $b = 20$ e $c = 75$ na fórmula quadrática e resolva $r$ .

$\frac{- 20 \pm \sqrt{20^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 75)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 3 \cdot 75}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 3 \cdot 75$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 12 \cdot 75}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $12$ por $75$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{400 + 900}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.5.1.3

Some $400$ e $900$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{1300}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.5.1.4

Reescreva $1300$ como $10^{2} \cdot 13$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.4.1

Fatore $100$ de $1300$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{100 (13)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.5.1.4.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$r = \frac{- 20 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$r = \frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{- 6}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{- 20 \pm 10 \sqrt{13}}{- 6}$ .

$r = \frac{10 \pm 5 \sqrt{13}}{3}$

Etapa 3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$r = \frac{10 + 5 \sqrt{13}}{3}, \frac{10 - 5 \sqrt{13}}{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$r = \frac{10 + 5 \sqrt{13}}{3}, \frac{10 - 5 \sqrt{13}}{3}$

Forma decimal:

$r = 9.34258545 \dots, - 2.67591879 \dots$