Pré-cálculo Exemplos

$\csc^{2} (x) = \frac{4}{3}$

Etapa 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 2.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 2.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 2.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 2.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.4.6.5

Avalie o expoente.

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5

Resolva $x$ em $\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 5.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 5.3

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Etapa 5.4

Simplifique $π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 5.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Etapa 5.4.3.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.6

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Resolva $x$ em $\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 6.1

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 6.4.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Etapa 6.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.6.3

Combine frações.

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Etapa 6.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 6.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.6.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Etapa 6.6.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Etapa 6.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.7

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as soluções.

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Etapa 8.1

Consolide $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

Consolide $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$