Pré-cálculo Exemplos

$\frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 5 \cdot - 2 = - 10$ e cuja soma é $b = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{5 x^{2} + 3 (x) - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $3$ como $- 2$ mais $5$

$\frac{5 x^{2} + (- 2 + 5) x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 2 x + 5 x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(5 x^{2} - 2 x) + 5 x - 2}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (5 x - 2) + 1 (5 x - 2)}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $5 x - 2$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} + 15 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 27 = - 54$ e cuja soma é $b = 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Fatore $15$ de $15 x$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} + 15 (x) - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva $15$ como $- 3$ mais $18$

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} + (- 3 + 18) x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{2 x^{2} - 3 x + 18 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x^{2} - 3 x) + 18 x - 27} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{x (2 x - 3) + 9 (2 x - 3)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 3$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$(2 x - 3) (x + 9), 2 x - 3, x + 9$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $2 x - 3$ é o próprio $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) = 2 x - 3$

$(2 x - 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $x + 9$ é o próprio $x + 9$ .

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $2 x - 3$ é o próprio $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) = 2 x - 3$

$(2 x - 3)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $x + 9$ é o próprio $x + 9$ .

$(x + 9) = x + 9$

$(x + 9)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O MMC de $2 x - 3, x + 9, 2 x - 3, x + 9$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(2 x - 3) (x + 9)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$ por $(2 x - 3) (x + 9)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} = \frac{8}{x + 9}$ por $(2 x - 3) (x + 9)$ .

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} ((2 x - 3) (x + 9)) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $(2 x - 3) (x + 9)$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 x - 2) (x + 1)}{(2 x - 3) (x + 9)} ((2 x - 3) (x + 9)) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$(5 x - 2) (x + 1) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.2

Expanda $(5 x - 2) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x (x + 1) - 2 (x + 1) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 2 (x + 1) - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 5 x \cdot 1 - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 x^{2} + 5 x - 2 x - 2 \cdot 1 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$5 x^{2} + 5 x - 2 x - 2 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.3.2

Subtraia $2 x$ de $5 x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - \frac{3 x + 1}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $2 x - 3$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 x + 1}{2 x - 3}$ para o numerador.

$5 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{- (3 x + 1)}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$5 x^{2} + 3 x - 2 + \frac{- (3 x + 1)}{2 x - 3} ((2 x - 3) (x + 9)) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - (3 x + 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 3 x - 2 + (- (3 x) - 1 \cdot 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 + (- 3 x - 1 \cdot 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 + (- 3 x - 1) (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.8

Expanda $(- 3 x - 1) (x + 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x (x + 9) - 1 (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot 9 - 1 (x + 9) = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x \cdot x - 3 x \cdot 9 - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.9.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.9.1.1.1

Mova $x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot 9 - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.9.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 3 x \cdot 9 - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.9.1.2

Multiplique $9$ por $- 3$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 27 x - 1 x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.9.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 27 x - x - 1 \cdot 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.9.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 27 x - x - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.1.9.2

Subtraia $x$ de $- 27 x$ .

$5 x^{2} + 3 x - 2 - 3 x^{2} - 28 x - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $3 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 3 x - 2 - 28 x - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $28 x$ de $3 x$ .

$2 x^{2} - 25 x - 2 - 9 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.2.2.3

Subtraia $9$ de $- 2$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = \frac{8}{x + 9} ((2 x - 3) (x + 9))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $x + 9$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $x + 9$ de $(2 x - 3) (x + 9)$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = \frac{8}{x + 9} ((x + 9) (2 x - 3))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - 25 x - 11 = \frac{8}{x + 9} ((x + 9) (2 x - 3))$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 8 (2 x - 3)$

Etapa 3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 8 (2 x) + 8 \cdot - 3$

Etapa 3.3.3

Multiplique.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 16 x + 8 \cdot - 3$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique $8$ por $- 3$ .

$2 x^{2} - 25 x - 11 = 16 x - 24$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $16 x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 25 x - 11 - 16 x = - 24$

Etapa 4.1.2

Subtraia $16 x$ de $- 25 x$ .

$2 x^{2} - 41 x - 11 = - 24$

Etapa 4.2

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Some $24$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 41 x - 11 + 24 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $- 11$ e $24$ .

$2 x^{2} - 41 x + 13 = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 41$ e $c = 13$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{41 \pm \sqrt{{(- 41)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 13)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $- 41$ à potência de $2$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 4 \cdot 2 \cdot 13}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 13$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 8 \cdot 13}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $13$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1681 - 104}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.1.3

Subtraia $104$ de $1681$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1577}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{41 \pm \sqrt{1577}}{4}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{41 + \sqrt{1577}}{4}, \frac{41 - \sqrt{1577}}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{41 + \sqrt{1577}}{4}, \frac{41 - \sqrt{1577}}{4}$

Forma decimal:

$x = 20.17786482 \dots, 0.32213517 \dots$