Pré-cálculo Exemplos

$\log (x) + \log (x + 6) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (x + 6)) = 1$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 6) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (x^{2} + x \cdot 6) = 1$

Etapa 1.3.2

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$\log (x^{2} + 6 x) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log (x^{2} + 6 x) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} + 6 x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 6 x = 10^{1}$ .

$x^{2} + 6 x = 10$

Etapa 3.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 6 x - 10 = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 6$ e $c = - 10$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 10)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 10$ .

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Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 10}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 10$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 40}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.3

Some $36$ e $40$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 3.5.1.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{19}}{2}$ .

$x = - 3 \pm \sqrt{19}$

Etapa 3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 3 + \sqrt{19}, - 3 - \sqrt{19}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (x) + \log (x + 6) = 1$ verdadeira.

$x = - 3 + \sqrt{19}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 3 + \sqrt{19}$

Forma decimal:

$x = 1.35889894 \dots$