Pré-cálculo Exemplos

$\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique $\log (x - 3) + \log (x + 5)$ .

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Etapa 1.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (2 x + 1) = \log ((x - 3) (x + 5))$

Etapa 1.1.2

Expanda $(x - 3) (x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (2 x + 1) = \log (x (x + 5) - 3 (x + 5))$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 (x + 5))$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (2 x + 1) = \log (x \cdot x + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

Etapa 1.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + x \cdot 5 - 3 x - 3 \cdot 5)$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 5)$

Etapa 1.1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $5$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 5 x - 3 x - 15)$

Etapa 1.1.3.2

Subtraia $3 x$ de $5 x$ .

$\log (2 x + 1) = \log (x^{2} + 2 x - 15)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$2 x + 1 = x^{2} + 2 x - 15$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} + 2 x - 15 = 2 x + 1$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 2 x - 15 - 2 x = 1$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $x^{2} + 2 x - 15 - 2 x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$x^{2} + 0 - 15 = 1$

Etapa 3.2.2.2

Some $x^{2}$ e $0$ .

$x^{2} - 15 = 1$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.1

Some $15$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1 + 15$

Etapa 3.3.2

Some $1$ e $15$ .

$x^{2} = 16$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Etapa 3.5

Simplifique $\pm \sqrt{16}$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Etapa 3.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 4$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 4$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 4$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, - 4$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (2 x + 1) = \log (x - 3) + \log (x + 5)$ verdadeira.

$x = 4$