Pré-cálculo Exemplos

$\log (x + 1) - \log (x - 2) = \log (x)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x + 1}{x - 2}) = \log (x)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{x + 1}{x - 2} = x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x - 2, 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$x - 2, 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x - 2$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{x + 1}{x - 2} = x$ por $x - 2$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x + 1}{x - 2} = x$ por $x - 2$ .

$\frac{x + 1}{x - 2} (x - 2) = x (x - 2)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 1}{x - 2} (x - 2) = x (x - 2)$

Etapa 3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x + 1 = x (x - 2)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 2$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 2$

Etapa 3.2.3.2.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 2 x$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} - 2 x = x + 1$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x - x = 1$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x = 1$

Etapa 3.3.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 1 = 0$

Etapa 3.3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.6.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.3.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.6.1.3

Some $9$ e $4$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Etapa 3.3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (x + 1) - \log (x - 2) = \log (x)$ verdadeira.

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Forma decimal:

$x = 3.30277563 \dots$