Pré-cálculo Exemplos

$\log (x - 3) + \log (2 x - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 3) (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 3) (2 x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (2 x - 5) - 3 (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x - 5)) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (2 x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log (2 x \cdot x + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (2 x^{2} + x \cdot - 5 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1.3.1.3

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$\log (2 x^{2} - 5 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$\log (2 x^{2} - 5 x - 6 x - 3 \cdot - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 5$ .

$\log (2 x^{2} - 5 x - 6 x + 15) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 1.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 5 x$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

A base do logaritmo $3$ de $1$ é $0$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 0 + 6^{\log_{6} (2)}$

Etapa 2.1.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 0 + 2$

Etapa 2.2

Some $0$ e $2$ .

$\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 2$

Etapa 3

Reescreva $\log (2 x^{2} - 11 x + 15) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 2 x^{2} - 11 x + 15$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $2 x^{2} - 11 x + 15 = 10^{2}$ .

$2 x^{2} - 11 x + 15 = 10^{2}$

Etapa 4.2

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$2 x^{2} - 11 x + 15 = 100$

Etapa 4.3

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $100$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 11 x + 15 - 100 = 0$

Etapa 4.3.2

Subtraia $100$ de $15$ .

$2 x^{2} - 11 x - 85 = 0$

Etapa 4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.5

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 11$ e $c = - 85$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 85)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6

Simplifique.

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Etapa 4.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1.1

Eleve $- 11$ à potência de $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 2 \cdot - 85}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 85$ .

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Etapa 4.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8 \cdot - 85}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $- 85$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{121 + 680}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.3

Some $121$ e $680$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{801}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.4

Reescreva $801$ como $3^{2} \cdot 89$ .

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Etapa 4.6.1.4.1

Fatore $9$ de $801$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{9 (89)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{11 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 89}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{11 \pm 3 \sqrt{89}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{11 \pm 3 \sqrt{89}}{4}$

Etapa 4.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}, \frac{11 - 3 \sqrt{89}}{4}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\log (x - 3) + \log (2 x - 5) = \log_{3} (1) + 6^{\log_{6} (2)}$ verdadeira.

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{11 + 3 \sqrt{89}}{4}$

Forma decimal:

$x = 9.82548584 \dots$