Pré-cálculo Exemplos

$\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (3 x + 3)) = 1$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 2) (3 x + 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (3 x + 3) - 2 (3 x + 3)) = 1$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x + 3)) = 1$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (x (3 x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log (3 x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\log (3 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Etapa 1.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (3 x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Etapa 1.3.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\log (3 x^{2} + 3 \cdot x - 2 (3 x) - 2 \cdot 3) = 1$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 2 \cdot 3) = 1$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\log (3 x^{2} + 3 x - 6 x - 6) = 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $6 x$ de $3 x$ .

$\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log (3 x^{2} - 3 x - 6) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 x^{2} - 3 x - 6$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $3 x^{2} - 3 x - 6 = 10^{1}$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6 = 10$

Etapa 3.2

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} - 3 x - 6 - 10 = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $10$ de $- 6$ .

$3 x^{2} - 3 x - 16 = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 3$ , $b = - 3$ e $c = - 16$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 16)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot - 16}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 16$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 192}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.1.3

Some $9$ e $192$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{201}}{6}$

Etapa 3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}, \frac{3 - \sqrt{201}}{6}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (x - 2) + \log (3 x + 3) = 1$ verdadeira.

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{3 + \sqrt{201}}{6}$

Forma decimal:

$x = 2.86290781 \dots$