Pré-cálculo Exemplos

$\log (x - 4) - \log (3 x - 10) = \log (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x - 4}{3 x - 10}) = \log (\frac{1}{x})$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{x - 4}{3 x - 10} = \frac{1}{x}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$(x - 4) x = (3 x - 10) \cdot 1$

Etapa 3.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Simplifique $(x - 4) x$ .

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (x - 4) x = (3 x - 10) \cdot 1$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(x - 4) x = (3 x - 10) \cdot 1$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x - 4 x = (3 x - 10) \cdot 1$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} - 4 x = (3 x - 10) \cdot 1$

Etapa 3.2.2

Multiplique $3 x - 10$ por $1$ .

$x^{2} - 4 x = 3 x - 10$

Etapa 3.2.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.3.1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 4 x - 3 x = - 10$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 4 x$ .

$x^{2} - 7 x = - 10$

Etapa 3.2.4

Some $10$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 7 x + 10 = 0$

Etapa 3.2.5

Fatore $x^{2} - 7 x + 10$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 5, - 2$

Etapa 3.2.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 5) (x - 2) = 0$

Etapa 3.2.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3.2.7

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.7.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 3.2.7.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 3.2.8

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.8.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.2.8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.2.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 5) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 2$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (x - 4) - \log (3 x - 10) = \log (\frac{1}{x})$ verdadeira.

$x = 5$