Pré-cálculo Exemplos

$\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) = 1 + \log (x - 4)$

Etapa 2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4}) - \log (x - 4) = 1$

Etapa 3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{\frac{x^{2} + 16}{x + 4}}{x - 4}) = 1$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\log (\frac{x^{2} + 16}{x + 4} \cdot \frac{1}{x - 4}) = 1$

Etapa 5

Multiplique $\frac{x^{2} + 16}{x + 4}$ por $\frac{1}{x - 4}$ .

$\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$

Etapa 6

Reescreva $\log (\frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = \frac{x^{2} + 16}{(x + 4) (x - 4)}$

Etapa 7

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x^{2} + 16 = 10 ((x + 4) (x - 4))$

Etapa 8

Simplifique $10 ((x + 4) (x - 4))$ .

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Etapa 8.1

Expanda $(x + 4) (x - 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 8.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 (x (x - 4) + 4 (x - 4))$

Etapa 8.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4))$

Etapa 8.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Etapa 8.2

Simplifique os termos.

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Etapa 8.2.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ .

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Etapa 8.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot - 4$ e $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4)$

Etapa 8.2.1.2

Some $- 4 x$ e $4 x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4)$

Etapa 8.2.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x \cdot x + 4 \cdot - 4)$

Etapa 8.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} + 4 \cdot - 4)$

Etapa 8.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$x^{2} + 16 = 10 (x^{2} - 16)$

Etapa 8.2.3

Simplifique multiplicando.

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Etapa 8.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} + 10 \cdot - 16$

Etapa 8.2.3.2

Multiplique $10$ por $- 16$ .

$x^{2} + 16 = 10 x^{2} - 160$

Etapa 9

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 9.1

Subtraia $10 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 16 - 10 x^{2} = - 160$

Etapa 9.2

Subtraia $10 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 16 = - 160$

Etapa 10

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 10.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- 9 x^{2} + 4^{2} = - 160$

Etapa 10.2

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- {(3 x)}^{2} + 4^{2} = - 160$

Etapa 10.3

Reordene $- {(3 x)}^{2}$ e $4^{2}$ .

$4^{2} - {(3 x)}^{2} = - 160$

Etapa 10.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 4$ e $b = 3 x$ .

$(4 + 3 x) (4 - (3 x)) = - 160$

Etapa 10.5

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(4 + 3 x) (4 - 3 x) = - 160$

Etapa 11

Simplifique $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ .

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Etapa 11.1

Expanda $(4 + 3 x) (4 - 3 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (4 - 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Etapa 11.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x (4 - 3 x) = - 160$

Etapa 11.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Etapa 11.2

Simplifique os termos.

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Etapa 11.2.1

Combine os termos opostos em $4 \cdot 4 + 4 (- 3 x) + 3 x \cdot 4 + 3 x (- 3 x)$ .

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Etapa 11.2.1.1

Reorganize os fatores nos termos $4 (- 3 x)$ e $3 x \cdot 4$ .

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 4 x + 3 \cdot 4 x + 3 x (- 3 x) = - 160$

Etapa 11.2.1.2

Some $- 3 \cdot 4 x$ e $3 \cdot 4 x$ .

$4 \cdot 4 + 0 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Etapa 11.2.1.3

Some $4 \cdot 4$ e $0$ .

$4 \cdot 4 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.2.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 + 3 x (- 3 x) = - 160$

Etapa 11.2.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 + 3 \cdot - 3 x \cdot x = - 160$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 11.2.2.3.1

Mova $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 (x \cdot x) = - 160$

Etapa 11.2.2.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$16 + 3 \cdot - 3 x^{2} = - 160$

Etapa 11.2.2.4

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$16 - 9 x^{2} = - 160$

Etapa 12

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$- 9 x^{2} = - 160 - 16$

Etapa 12.2

Subtraia $16$ de $- 160$ .

$- 9 x^{2} = - 176$

Etapa 13

Divida cada termo em $- 9 x^{2} = - 176$ por $- 9$ e simplifique.

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Etapa 13.1

Divida cada termo em $- 9 x^{2} = - 176$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Etapa 13.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ .

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Etapa 13.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 x^{2}}{- 9} = \frac{- 176}{- 9}$

Etapa 13.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 176}{- 9}$

Etapa 13.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{176}{9}$

Etapa 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{176}{9}}$

Etapa 15

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{176}{9}}$ .

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Etapa 15.1

Reescreva $\sqrt{\frac{176}{9}}$ como $\frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{176}}{\sqrt{9}}$

Etapa 15.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.1

Reescreva $176$ como $4^{2} \cdot 11$ .

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Etapa 15.2.1.1

Fatore $16$ de $176$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16 (11)}}{\sqrt{9}}$

Etapa 15.2.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2} \cdot 11}}{\sqrt{9}}$

Etapa 15.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{9}}$

Etapa 15.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 15.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{\sqrt{3^{2}}}$

Etapa 15.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Etapa 16

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 16.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Etapa 16.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Etapa 16.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}, - \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Etapa 17

Exclua as soluções que não tornam $\log (x^{2} + 16) - \log (x + 4) = 1 + \log (x - 4)$ verdadeira.

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Etapa 18

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{4 \sqrt{11}}{3}$

Forma decimal:

$x = 4.42216638 \dots$