Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 3) (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 3) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x (x - 2) - 3 (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 2 - 3 (x - 2)) = \ln (2 x + 24)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} - 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 2) = \ln (2 x + 24)$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\ln (x^{2} - 2 x - 3 x + 6) = \ln (2 x + 24)$

Etapa 1.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 2 x$ .

$\ln (x^{2} - 5 x + 6) = \ln (2 x + 24)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} - 5 x + 6 = 2 x + 24$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 5 x + 6 - 2 x = 24$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 x$ de $- 5 x$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 24$

Etapa 3.2

Subtraia $24$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 7 x + 6 - 24 = 0$

Etapa 3.3

Subtraia $24$ de $6$ .

$x^{2} - 7 x - 18 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $x^{2} - 7 x - 18$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 9, 2$

Etapa 3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 9) (x + 2) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 3.6

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 3.7

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 9) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 9, - 2$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x - 3) + \ln (x - 2) = \ln (2 x + 24)$ verdadeira.

$x = 9$