Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x + 4) - \ln (x - 2) = \ln (x)$

Etapa 1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 4}{x - 2}) = \ln (x)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$\frac{x + 4}{x - 2} = x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x - 2, 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$x - 2, 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x - 2$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $\frac{x + 4}{x - 2} = x$ por $x - 2$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{x + 4}{x - 2} = x$ por $x - 2$ .

$\frac{x + 4}{x - 2} (x - 2) = x (x - 2)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x + 4}{x - 2} (x - 2) = x (x - 2)$

Etapa 3.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$x + 4 = x (x - 2)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 4 = x \cdot x + x \cdot - 2$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x + 4 = x^{2} + x \cdot - 2$

Etapa 3.2.3.2.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$x + 4 = x^{2} - 2 x$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} - 2 x = x + 4$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x - x = 4$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x = 4$

Etapa 3.3.3

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Etapa 3.3.4

Fatore $x^{2} - 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 3.3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 3.3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Etapa 3.3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 3.3.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 3.3.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 3.3.7

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.3.7.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.3.7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 1$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x + 4) - \ln (x - 2) = \ln (x)$ verdadeira.

$x = 4$