Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x) = \ln (\frac{3 x + 1}{x + 1})$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x + 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$1, x + 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x + 1$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ por $x + 1$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $x = \frac{3 x + 1}{x + 1}$ por $x + 1$ .

$x (x + 1) = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.2.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 1 = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.2.2.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 3.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} + x = \frac{3 x + 1}{x + 1} (x + 1)$

Etapa 3.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} + x = 3 x + 1$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1.1

Subtraia $3 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x - 3 x = 1$

Etapa 3.3.1.2

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$x^{2} - 2 x = 1$

Etapa 3.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Etapa 3.3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5

Simplifique.

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Etapa 3.3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.1.3

Some $4$ e $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 3.3.5.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3.5.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Etapa 3.3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x) = \ln (3 x + 1) - \ln (x + 1)$ verdadeira.

$x = 1 + \sqrt{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = 1 + \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 2.41421356 \dots$