Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x + 1) + \ln (x - 1) = \ln (8)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 1) (x - 1)) = \ln (8)$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x (x - 1) + 1 (x - 1)) = \ln (8)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = \ln (8)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\ln (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = \ln (8)$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (x^{2} - x + x - 1) = \ln (8)$

Etapa 1.3.2

Some $- x$ e $x$ .

$\ln (x^{2} + 0 - 1) = \ln (8)$

Etapa 1.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\ln (x^{2} - 1) = \ln (8)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} - 1 = 8$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 8 + 1$

Etapa 3.1.2

Some $8$ e $1$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 3.3

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x + 1) + \ln (x - 1) = \ln (8)$ verdadeira.

$x = 3$