Pré-cálculo Exemplos

$\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((2 x + 5) (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.1

Expanda $(2 x + 5) (x - 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (2 x (x - 7) + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 1.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7)) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.2.1.1.1

Mova $x$ .

$\ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Multiplique $5$ por $- 7$ .

$\ln (2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Some $- 14 x$ e $5 x$ .

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x) = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - 2 \ln (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique $- 2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (2 x^{2} - 9 x - 35) - \ln (x^{2}) = 0$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ e cuja soma é $b = - 9$ .

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Etapa 2.1.3.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 x$ .

$\ln (\frac{2 x^{2} - 9 (x) - 35}{x^{2}}) = 0$

Etapa 2.1.3.1.2

Reescreva $- 9$ como $5$ mais $- 14$

$\ln (\frac{2 x^{2} + (5 - 14) x - 35}{x^{2}}) = 0$

Etapa 2.1.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (\frac{2 x^{2} + 5 x - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Etapa 2.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\ln (\frac{(2 x^{2} + 5 x) - 14 x - 35}{x^{2}}) = 0$

Etapa 2.1.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\ln (\frac{x (2 x + 5) - 7 (2 x + 5)}{x^{2}}) = 0$

Etapa 2.1.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 5$ .

$\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{(2 x + 5) (x - 7)}{x^{2}}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$(2 x + 5) (x - 7) = e^{0} (x^{2})$

Etapa 5

Simplifique $e^{0} (x^{2})$ .

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Etapa 5.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = 1 x^{2}$

Etapa 5.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$(2 x + 5) (x - 7) = x^{2}$

Etapa 6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$(2 x + 5) (x - 7) - x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Expanda $(2 x + 5) (x - 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (x - 7) + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 (x - 7) - x^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.2.1.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique $- 7$ por $2$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x + 5 \cdot - 7 - x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2.1.3

Multiplique $5$ por $- 7$ .

$2 x^{2} - 14 x + 5 x - 35 - x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2.2

Some $- 14 x$ e $5 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 35 - x^{2} = 0$

Etapa 6.3

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Etapa 7

Some $35$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 9 x = 35$

Etapa 8

Subtraia $35$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 9 x - 35 = 0$

Etapa 9

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 10

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 9$ e $c = - 35$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{9 \pm \sqrt{{(- 9)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 35)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.1

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 35$ .

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Etapa 11.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 35}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 35$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 140}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.1.3

Some $81$ e $140$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{9 \pm \sqrt{221}}{2}$

Etapa 12

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}, \frac{9 - \sqrt{221}}{2}$

Etapa 13

Exclua as soluções que não tornam $\ln (2 x + 5) + \ln (x - 7) - 2 \ln (x) = 0$ verdadeira.

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Etapa 14

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{9 + \sqrt{221}}{2}$

Forma decimal:

$x = 11.93303437 \dots$