Pré-cálculo Exemplos

$\ln (2 x^{2} + e x) = 2$

Etapa 1

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (2 x^{2} + e x)} = e^{2}$

Etapa 2

Reescreva $\ln (2 x^{2} + e x) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = 2 x^{2} + e x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $2 x^{2} + e x = e^{2}$ .

$2 x^{2} + e x = e^{2}$

Etapa 3.2

Subtraia $e^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + e x - e^{2} = 0$

Etapa 3.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4

Substitua os valores $a = 2$ , $b = e$ e $c = - e^{2}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.5.1.1.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} - 8 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.1.2

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{e^{2} + 8 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.2

Some $e^{2}$ e $8 e^{2}$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{9 e^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.3

Reescreva $9 e^{2}$ como ${(3 e)}^{2}$ .

$x = \frac{- e \pm \sqrt{{(3 e)}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \frac{- e \pm 3 e}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{- e \pm 3 e}{4}$

Etapa 3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{e}{2}, - e$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{e}{2}, - e$

Forma decimal:

$x = 1.35914091 \dots, - 2.71828182 \dots$