Pré-cálculo Exemplos

$\ln (\sqrt{x + 8}) = 3$

Etapa 1

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\sqrt{x + 8})} = e^{3}$

Etapa 2

Reescreva $\ln (\sqrt{x + 8}) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = \sqrt{x + 8}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{x + 8} = e^{3}$ .

$\sqrt{x + 8} = e^{3}$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x + 8}}^{2} = {(e^{3})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 8}$ como ${(x + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 8)}^{1} = {(e^{3})}^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$x + 8 = {(e^{3})}^{2}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{3})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x + 8 = e^{3 \cdot 2}$

Etapa 3.3.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$x + 8 = e^{6}$

Etapa 3.4

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x = e^{6} - 8$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = e^{6} - 8$

Forma decimal:

$x = 395.42879349 \dots$