Pré-cálculo Exemplos

\ln (\sin (x)) = 0

$\ln (\sin (x)) = 0$

Etapa 1

Para resolver

x

$x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

e^{\ln (\sin (x))} = e^{0}

$e^{\ln (\sin (x))} = e^{0}$

Etapa 2

Reescreva

\ln (\sin (x)) = 0

$\ln (\sin (x)) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se

x

$x$ e

b

$b$ forem números reais positivos e

b \neq 1

$b \neq 1$ , então,

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ será equivalente a

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

e^{0} = \sin (x)

$e^{0} = \sin (x)$

Etapa 3

Resolva

x

$x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como

\sin (x) = e^{0}

$\sin (x) = e^{0}$ .

\sin (x) = e^{0}

$\sin (x) = e^{0}$

Etapa 3.2

Qualquer coisa elevada a

0

$0$ é

1

$1$ .

\sin (x) = 1

$\sin (x) = 1$

Etapa 3.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

x

$x$ de dentro do seno.

x = \arcsin (1)

$x = \arcsin (1)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.1

O valor exato de

\arcsin (1)

$\arcsin (1)$ é

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

π

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

x = π - \frac{π}{2}

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 3.6

Simplifique

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.6.1

Para escrever

π

$π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.6.2

Combine frações.

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Etapa 3.6.2.1

Combine

π

$π$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 3.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 3.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.3.1

Mova

2

$2$ para a esquerda de

π

$π$ .

x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 3.6.3.2

Subtraia

π

$π$ de

2 π

$2 π$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 3.7

Encontre o período de

\sin (x)

$\sin (x)$ .

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Etapa 3.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.7.2

Substitua

b

$b$ por

1

$1$ na fórmula do período.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

0

$0$ e

1

$1$ é

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.7.4

Divida

2 π

$2 π$ por

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Etapa 3.8

O período da função

\sin (x)

$\sin (x)$ é

2 π

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

2 π

$2 π$ radianos nas duas direções.

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

n

$n$