Pré-cálculo Exemplos

$\ln (x) + \ln (x + 10) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 10)) = 2$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 10) = 2$

Etapa 1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 10) = 2$

Etapa 1.3.2

Mova $10$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} + 10 x) = 2$

Etapa 2

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} + 10 x)} = e^{2}$

Etapa 3

Reescreva $\ln (x^{2} + 10 x) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2} = x^{2} + 10 x$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 10 x = e^{2}$ .

$x^{2} + 10 x = e^{2}$

Etapa 4.2

Subtraia $e^{2}$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 10 x - e^{2} = 0$

Etapa 4.3

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 10$ e $c = - e^{2}$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1.1

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 4 e^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3

Reescreva $100 + 4 e^{2}$ como $2^{2} (25 + e^{2})$ .

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Etapa 4.5.1.3.1

Fatore $4$ de $100$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 e^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3.2

Fatore $4$ de $4 e^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (25) + 4 (e^{2})$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{4 (25 + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.1.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{2}}}{2}$

Etapa 4.5.3

Simplifique $\frac{- 10 \pm 2 \sqrt{25 + e^{2}}}{2}$ .

$x = - 5 \pm \sqrt{25 + e^{2}}$

Etapa 4.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{2}}, - 5 - \sqrt{25 + e^{2}}$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x) + \ln (x + 10) = 2$ verdadeira.

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{2}}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - 5 + \sqrt{25 + e^{2}}$

Forma decimal:

$x = 0.69113838 \dots$