Pré-cálculo Exemplos

$\cot (3 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 1

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cotangente.

$3 x = arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $arccot (\frac{\sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$3 x = \frac{π}{3}$

Etapa 3

Divida cada termo em $3 x = \frac{π}{3}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{3}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{π}{9}$

Etapa 4

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$3 x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 5.1.2

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 5.1.4

Some $π \cdot 3$ e $π$ .

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Etapa 5.1.4.1

Reordene $π$ e $3$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 5.1.4.2

Some $3 \cdot π$ e $π$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{4 \cdot π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{4 \cdot π}{3}}{3}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{4 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 3}$

Etapa 5.2.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{4 π}{9}$

Etapa 6

Encontre o período de $\cot (3 x)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 3 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{π}{3}$

Etapa 7

O período da função $\cot (3 x)$ é $\frac{π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{4 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{9} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$