Pré-cálculo Exemplos

$\csc (x) = 16 \sin (x)$

Etapa 1

Divida cada termo em $\csc (x) = 16 \sin (x)$ por $\csc (x)$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $\csc (x) = 16 \sin (x)$ por $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $\csc (x)$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\csc (x)}{\csc (x)} = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{16 \sin (x)}{\csc (x)}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Separe as frações.

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\csc (x)}$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$1 = \frac{16}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin (x) \sin (x))$

Etapa 1.3.4

Simplifique.

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Etapa 1.3.4.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Etapa 1.3.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 = \frac{16}{1} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Etapa 1.3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 = \frac{16}{1} {\sin (x)}^{1 + 1}$

Etapa 1.3.4.4

Some $1$ e $1$ .

$1 = \frac{16}{1} \sin^{2} (x)$

Etapa 1.3.5

Divida $16$ por $1$ .

$1 = 16 \sin^{2} (x)$

Etapa 2

Reescreva a equação como $16 \sin^{2} (x) = 1$ .

$16 \sin^{2} (x) = 1$

Etapa 3

Divida cada termo em $16 \sin^{2} (x) = 1$ por $16$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $16 \sin^{2} (x) = 1$ por $16$ .

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $16$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{16 \sin^{2} (x)}{16} = \frac{1}{16}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{16}$

Etapa 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

Etapa 5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

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Etapa 5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{16}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Etapa 5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Etapa 5.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{4}$

Etapa 6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Etapa 6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1}{4}$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1}{4}$ .

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Etapa 8.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Etapa 8.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Etapa 8.4

Resolva $x$ .

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Etapa 8.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Etapa 8.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Etapa 8.4.3

Subtraia $0.25268025$ de $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Etapa 8.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{1}{4}$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{4})$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\arcsin (- \frac{1}{4})$ .

$x = - 0.25268025$

Etapa 9.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$

Etapa 9.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 9.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265 - 2 π$

Etapa 9.4.2

O ângulo resultante de $3.3942729$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 (3.14159265) + 0.25268025 + 3.14159265$ .

$x = 3.3942729$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 9.6.1

Some $2 π$ com $- 0.25268025$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.25268025 + 2 π$

Etapa 9.6.2

Subtraia $0.25268025$ de $2 π$ .

$6.03050505$

Etapa 9.6.3

Liste os novos ângulos.

$x = 6.03050505$

Etapa 9.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n, 3.3942729 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Consolide as soluções.

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Etapa 11.1

Consolide $0.25268025 + 2 π n$ e $3.3942729 + 2 π n$ em $0.25268025 + π n$ .

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + 2 π n, 6.03050505 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11.2

Consolide $2.88891239 + 2 π n$ e $6.03050505 + 2 π n$ em $2.88891239 + π n$ .

$x = 0.25268025 + π n, 2.88891239 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$