Pré-cálculo Exemplos

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) = 1$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (2 x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 2.2

Combine os termos opostos em $1 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) - 1$ .

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Etapa 2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Etapa 2.2.2

Subtraia $2 \sin^{2} (x)$ de $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Etapa 3

Fatore $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x) - \sqrt{3} \sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Fatore $\sin (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) - \sqrt{3} \sin (x) = 0$

Etapa 3.2

Fatore $\sin (x)$ de $- \sqrt{3} \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3}) = 0$

Etapa 3.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) (- 2 \sin (x)) + \sin (x) (- \sqrt{3})$ .

$\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Etapa 5

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 5.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 5.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $- 2 \sin (x) - \sqrt{3}$ como igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $- 2 \sin (x) - \sqrt{3} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Some $\sqrt{3}$ aos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = \sqrt{3}$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{- 2}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 6.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 6.2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.2.8.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{3}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Etapa 6.2.8.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.8.3

Combine frações.

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Etapa 6.2.8.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 6.2.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.8.4.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Etapa 6.2.8.4.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Etapa 6.2.8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 6.2.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $\sin (x) (- 2 \sin (x) - \sqrt{3}) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$