Pré-cálculo Exemplos

$\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x} \geq 1$

Etapa 1

Simplifique $\frac{6}{x - 1} - \frac{6}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{6}{x - 1}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \geq 1$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{6}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6}{x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x - 1) x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{6}{x - 1}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6}{x} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} \geq 1$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{6}{x}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{6 x}{(x - 1) x} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x - 1) x$ .

$\frac{6 x}{x (x - 1)} - \frac{6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 x - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.5.1

Fatore $6$ de $6 x - 6 (x - 1)$ .

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Etapa 1.5.1.1

Fatore $6$ de $6 x$ .

$\frac{6 (x) - 6 (x - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 1.5.1.2

Fatore $6$ de $- 6 (x - 1)$ .

$\frac{6 (x) + 6 (- (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 1.5.1.3

Fatore $6$ de $6 (x) + 6 (- (x - 1))$ .

$\frac{6 (x - (x - 1))}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 1.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (x - x - - 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 1.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{6 (x - x + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 1.5.4

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{6 (0 + 1)}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 1.5.5

Some $0$ e $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 1.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} \geq 1$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $x (x - 1)$ .

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $x (x - 1)$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{x (x - 1)} (x (x - 1)) = 1 (x (x - 1))$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$6 = 1 (x (x - 1))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Simplifique $1 (x (x - 1))$ .

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 3.2.1.1.1

Multiplique $x (x - 1)$ por $1$ .

$6 = x (x - 1)$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 = x \cdot x + x \cdot - 1$

Etapa 3.2.1.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1.1.3.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 = x^{2} + x \cdot - 1$

Etapa 3.2.1.1.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$6 = x^{2} - 1 \cdot x$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$6 = x^{2} - x$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $x^{2} - x = 6$ .

$x^{2} - x = 6$

Etapa 4.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Etapa 4.3

Fatore $x^{2} - x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 3, 2$

Etapa 4.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Etapa 4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 4.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 4.6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 2$

Etapa 5

Encontre o domínio de $\frac{6}{x (x - 1)} - 1$ .

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Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{6}{x (x - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x (x - 1) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $x$ .

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Etapa 5.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 5.2.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 5.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 6

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 7

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 7.1

Teste um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 7.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{6}{(- 4) - 1} - \frac{6}{- 4} \geq 1$

Etapa 7.1.3

O lado esquerdo $0.3$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.2

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 1$

Etapa 7.2.2

Substitua $x$ por $- 1$ na desigualdade original.

$\frac{6}{(- 1) - 1} - \frac{6}{- 1} \geq 1$

Etapa 7.2.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.5$

Etapa 7.3.2

Substitua $x$ por $0.5$ na desigualdade original.

$\frac{6}{(0.5) - 1} - \frac{6}{0.5} \geq 1$

Etapa 7.3.3

O lado esquerdo $- 24$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.4

Teste um valor no intervalo $1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.4.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 7.4.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{6}{(2) - 1} - \frac{6}{2} \geq 1$

Etapa 7.4.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 7.5

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 7.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 7.5.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{6}{(6) - 1} - \frac{6}{6} \geq 1$

Etapa 7.5.3

O lado esquerdo $0.2$ é menor do que o lado direito $1$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 7.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 1$ Falso

$1 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 8

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 2 \leq x < 0$ ou $1 < x \leq 3$

Etapa 9

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[- 2, 0) \cup (1, 3]$

Etapa 10