Pré-cálculo Exemplos

$\cos (x) + 1 = \sin (x)$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (x) = \sin (x) - 1$

Etapa 2

Eleve os dois lados da equação ao quadrado.

$\cos^{2} (x) = {(\sin (x) - 1)}^{2}$

Etapa 3

Simplifique ${(\sin (x) - 1)}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Reescreva ${(\sin (x) - 1)}^{2}$ como $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ .

$\cos^{2} (x) = (\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$

Etapa 3.2

Expanda $(\sin (x) - 1) (\sin (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) (\sin (x) - 1) - 1 (\sin (x) - 1)$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 (\sin (x) - 1)$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos^{2} (x) = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 1 \cdot \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.4

Reescreva $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - \sin (x) - \sin (x) + 1$

Etapa 3.3.2

Subtraia $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) = \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$

Etapa 4

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $\sin^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = - 2 \sin (x) + 1$

Etapa 4.2

Some $2 \sin (x)$ aos dois lados da equação.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 1$

Etapa 4.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 5

Simplifique $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 1$ .

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Etapa 5.1

Mova $- 1$ .

$\cos^{2} (x) - 1 - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.2

Reordene $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.4

Fatore $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.6

Reescreva $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.7

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$- \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.8

Subtraia $\sin^{2} (x)$ de $- \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\sin (x)$ .

$- 2 u^{2} + 2 u = 0$

Etapa 6.1.2

Fatore $2 u$ de $- 2 u^{2} + 2 u$ .

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $2 u$ de $- 2 u^{2}$ .

$2 u (- u) + 2 u = 0$

Etapa 6.1.2.2

Fatore $2 u$ de $2 u$ .

$2 u (- u) + 2 u (1) = 0$

Etapa 6.1.2.3

Fatore $2 u$ de $2 u (- u) + 2 u (1)$ .

$2 u (- u + 1) = 0$

Etapa 6.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 6.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 6.3

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.3.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 6.3.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.3.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.3.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 6.3.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 6.3.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.3.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.4

Defina $- \sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $- \sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $- \sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - 1$

Etapa 6.4.2.2

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.4.2.2.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.4.2.2.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 6.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Etapa 6.4.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 6.4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.4.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.4.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.4.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.4.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 6.4.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.4.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.4.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.2.6.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 6.4.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.4.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.4.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.5

A solução final são todos os valores que tornam $2 \sin (x) (- \sin (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide $2 π n$ e $π + 2 π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Exclua as soluções que não tornam $\cos (x) + 1 = \sin (x)$ verdadeira.

$x = 1.57079632, 3.14159265, 7.85398163, 9.42477796, 14.13716694, 15.70796326, 20.42035224, 21.99114857, 26.70353755, 32.98672286, 39.26990816, 45.55309347$ , para qualquer número inteiro $n$