Pré-cálculo Exemplos

$9 (9^{x}) - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $9^{x}$ como ${(3^{2})}^{x}$ .

$9 \cdot {(3^{2})}^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Etapa 1.2

Reescreva ${(3^{2})}^{x}$ como ${(3^{x})}^{2}$ .

$9 \cdot {(3^{x})}^{2} - 10 \cdot 3^{x} + 1 = 0$

Etapa 1.3

Deixe $u = 3^{x}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $3^{x}$ .

$9 u^{2} - 10 u + 1 = 0$

Etapa 1.4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 1.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ e cuja soma é $b = - 10$ .

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Etapa 1.4.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 u$ .

$9 u^{2} - 10 u + 1 = 0$

Etapa 1.4.1.2

Reescreva $- 10$ como $- 1$ mais $- 9$

$9 u^{2} + (- 1 - 9) u + 1 = 0$

Etapa 1.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$9 u^{2} - 1 u - 9 u + 1 = 0$

Etapa 1.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(9 u^{2} - 1 u) - 9 u + 1 = 0$

Etapa 1.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (9 u - 1) - (9 u - 1) = 0$

Etapa 1.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 1) = 0$

Etapa 1.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3^{x}$ .

$(9 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Etapa 3

Defina $9 \cdot 3^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $9 \cdot 3^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $9 \cdot 3^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique $9 \cdot 3^{x}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$3^{2} \cdot 3^{x} - 1 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3^{2 + x} - 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3^{2 + x} = 1$

Etapa 3.2.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{2 + x}) = \ln (1)$

Etapa 3.2.4

Expanda $\ln (3^{2 + x})$ movendo $2 + x$ para fora do logaritmo.

$(2 + x) \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 3.2.5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \ln (3) + x \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 3.2.6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.6.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$2 \ln (3) + x \ln (3) = 0$

Etapa 3.2.7

Reordene $2 \ln (3)$ e $x \ln (3)$ .

$x \ln (3) + 2 \ln (3) = 0$

Etapa 3.2.8

Subtraia $2 \ln (3)$ dos dois lados da equação.

$x \ln (3) = - 2 \ln (3)$

Etapa 3.2.9

Divida cada termo em $x \ln (3) = - 2 \ln (3)$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 3.2.9.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = - 2 \ln (3)$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 3.2.9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.9.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

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Etapa 3.2.9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 3.2.9.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 3.2.9.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.3.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 2 \ln (3)}{\ln (3)}$

Etapa 3.2.9.3.1.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$x = - 2$

Etapa 4

Defina $3^{x} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $3^{x} - 1$ como igual a $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $3^{x} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3^{x} = 1$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Etapa 4.2.3

Expanda $\ln (3^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Etapa 4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Etapa 4.2.5

Divida cada termo em $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 4.2.5.1

Divida cada termo em $x \ln (3) = 0$ por $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 4.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 4.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Etapa 4.2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.3.1

Divida $0$ por $\ln (3)$ .

$x = 0$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(9 \cdot 3^{x} - 1) (3^{x} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 0$