Pré-cálculo Exemplos

$8 e^{2 x} + 8 e^{x} = 6$

Etapa 1

Reescreva $e^{2 x}$ como exponenciação.

$8 {(e^{x})}^{2} + 8 e^{x} = 6$

Etapa 2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$8 u^{2} + 8 u = 6$

Etapa 3

Resolva $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$8 u^{2} + 8 u - 6 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore $2$ de $8 u^{2} + 8 u - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $2$ de $8 u^{2}$ .

$2 (4 u^{2}) + 8 u - 6 = 0$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $2$ de $8 u$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (4 u) - 6 = 0$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $2$ de $- 6$ .

$2 (4 u^{2}) + 2 (4 u) + 2 (- 3) = 0$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $2$ de $2 (4 u^{2}) + 2 (4 u)$ .

$2 (4 u^{2} + 4 u) + 2 (- 3) = 0$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (4 u^{2} + 4 u) + 2 (- 3)$ .

$2 (4 u^{2} + 4 u - 3) = 0$

Etapa 3.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ e cuja soma é $b = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Fatore $4$ de $4 u$ .

$2 (4 u^{2} + 4 (u) - 3) = 0$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Reescreva $4$ como $- 2$ mais $6$

$2 (4 u^{2} + (- 2 + 6) u - 3) = 0$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (4 u^{2} - 2 u + 6 u - 3) = 0$

Etapa 3.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 ((4 u^{2} - 2 u) + 6 u - 3) = 0$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (2 u (2 u - 1) + 3 (2 u - 1)) = 0$

Etapa 3.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$2 ((2 u - 1) (2 u + 3)) = 0$

Etapa 3.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (2 u - 1) (2 u + 3) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$2 u + 3 = 0$

Etapa 3.4

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 3.4.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 3.4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5

Defina $2 u + 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina $2 u + 3$ como igual a $0$ .

$2 u + 3 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva $2 u + 3 = 0$ para $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 u = - 3$

Etapa 3.5.2.2

Divida cada termo em $2 u = - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.5.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 3}{2}$

Etapa 3.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{3}{2}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (2 u - 1) (2 u + 3) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}$

Etapa 4

Substitua $\frac{1}{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} = e^{x}$

Etapa 5

Resolva $\frac{1}{2} = e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{1}{2}$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 5.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 5.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 5.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 6

Substitua $- \frac{3}{2}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$- \frac{3}{2} = e^{x}$

Etapa 7

Resolva $- \frac{3}{2} = e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = - \frac{3}{2}$ .

$e^{x} = - \frac{3}{2}$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{3}{2})$

Etapa 7.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- \frac{3}{2})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 7.4

Não há uma solução para $e^{x} = - \frac{3}{2}$

Nenhuma solução

Etapa 8

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Forma decimal:

$x = - 0.69314718 \dots$