Pré-cálculo Exemplos

$\tan (3 x) = - \sqrt{3}$

Etapa 1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$3 x = \arctan (- \sqrt{3})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arctan (- \sqrt{3})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$3 x = - \frac{π}{3}$

Etapa 3

Divida cada termo em $3 x = - \frac{π}{3}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $3 x = - \frac{π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{3}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = - \frac{π}{9}$

Etapa 4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$3 x = - \frac{π}{3} - π$

Etapa 5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Etapa 5.2

O ângulo resultante de $\frac{2 π}{3}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{3} - π$ .

$3 x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $3 x = \frac{2 π}{3}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{2 π}{3}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3 \cdot 3}$

Etapa 5.3.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$x = \frac{2 π}{9}$

Etapa 6

Encontre o período de $\tan (3 x)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 3 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{π}{3}$

Etapa 7

Some $\frac{π}{3}$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.1

Some $\frac{π}{3}$ com $- \frac{π}{9}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{9} + \frac{π}{3}$

Etapa 7.2

Para escrever $\frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{9}$

Etapa 7.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{π}{9}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{π \cdot 3}{9} - \frac{π}{9}$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 3 - π}{9}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{9}$

Etapa 7.5.2

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{2 π}{9}$

Etapa 7.6

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{2 π}{9}$

Etapa 8

O período da função $\tan (3 x)$ é $\frac{π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}, \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$x = \frac{2 π}{9} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$