Pré-cálculo Exemplos

$\sin (3 x - \frac{π}{4}) = 1$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$3 x - \frac{π}{4} = \arcsin (1)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Etapa 3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$3 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 3.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Etapa 3.5.2

Some $2 π$ e $π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 4

Divida cada termo em $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$3 x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{2}$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.1.2

Combine frações.

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Etapa 6.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 6.1.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$3 x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.2.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$3 x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 6.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Etapa 6.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Etapa 6.2.5.2

Some $2 π$ e $π$ .

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $3 x = \frac{3 π}{4}$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.3.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7

Encontre o período de $\sin (3 x - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $3$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Etapa 7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Etapa 8

O período da função $\sin (3 x - \frac{π}{4})$ é $\frac{2 π}{3}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{2 π}{3}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$