Pré-cálculo Exemplos

$\sin (4 x) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$4 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Etapa 3

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{6}$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{6}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Etapa 4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$4 x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Simplifique.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$4 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.1.2

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 5.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 6$ .

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Etapa 5.1.4.1

Reordene $π$ e $6$ .

$4 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 5.1.4.2

Subtraia $π$ de $6 \cdot π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

Etapa 5.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Etapa 6

Encontre o período de $\sin (4 x)$ .

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Etapa 6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2

Substitua $b$ por $4$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Etapa 6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Etapa 6.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Etapa 6.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{2}$

Etapa 7

O período da função $\sin (4 x)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$