Pré-cálculo Exemplos

$y^{4} - 4 y^{2} = - 3$

Etapa 1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y^{4} - 4 y^{2} + 3 = 0$

Etapa 2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} - 4 y^{2} + 3 = 0$

Etapa 2.2

Deixe $u = y^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y^{2}$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $u^{2} - 4 u + 3$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 3, - 1$

Etapa 2.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Etapa 2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$(y^{2} - 3) (y^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(y^{2} - 3) (y^{2} - 1^{2}) = 0$

Etapa 2.6

Fatore.

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Etapa 2.6.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = y$ e $b = 1$ .

$(y^{2} - 3) ((y + 1) (y - 1)) = 0$

Etapa 2.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(y^{2} - 3) (y + 1) (y - 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y^{2} - 3 = 0$

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

Etapa 4

Defina $y^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.1

Defina $y^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$y^{2} - 3 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $y^{2} - 3 = 0$ para $y$ .

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Etapa 4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y^{2} = 3$

Etapa 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

Etapa 4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{3}$

Etapa 4.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{3}$

Etapa 4.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 5

Defina $y + 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 5.1

Defina $y + 1$ como igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

Etapa 6

Defina $y - 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 6.1

Defina $y - 1$ como igual a $0$ .

$y - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = 1$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(y^{2} - 3) (y + 1) (y - 1) = 0$ verdadeiro.

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 1, 1$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - 1, 1$

Forma decimal:

$y = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, - 1, 1$