Pré-cálculo Exemplos

$\log_{y} (81) = - 4$

Etapa 1

Reescreva $\log_{y} (81) = - 4$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$y^{- 4} = 81$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} = 81$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y^{4}, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y^{4}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y^{4}} = 81$ por $y^{4}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{y^{4}} = 81$ por $y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = 81 y^{4}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $y^{4}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{4}} y^{4} = 81 y^{4}$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 81 y^{4}$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a equação como $81 y^{4} = 1$ .

$81 y^{4} = 1$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $81 y^{4} = 1$ por $81$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $81 y^{4} = 1$ por $81$ .

$\frac{81 y^{4}}{81} = \frac{1}{81}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $81$ .

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Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{81 y^{4}}{81} = \frac{1}{81}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Divida $y^{4}$ por $1$ .

$y^{4} = \frac{1}{81}$

Etapa 2.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ .

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Etapa 2.4.4.1

Reescreva $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}}$

Etapa 2.4.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{81}}$

Etapa 2.4.4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.4.3.1

Reescreva $81$ como $3^{4}$ .

$y = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3^{4}}}$

Etapa 2.4.4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm \frac{1}{3}$

Etapa 2.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{1}{3}$

Etapa 2.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{1}{3}$

Etapa 2.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

Etapa 3

Exclua as soluções que não tornam $\log_{y} (81) = - 4$ verdadeira.

$y = \frac{1}{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = \frac{1}{3}$

Forma decimal:

$y = 0.\overline{3}$