Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\log_{3} (16)$ .

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{1}{3} \log_{3} (64)$

Etapa 1.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\log_{3} (64)$ .

$\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ por $12$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} + \frac{\log_{3} (64)}{3}$ por $12$ .

$\log_{3} (y) \cdot 12 = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Mova $12$ para a esquerda de $\log_{3} (y)$ .

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot 12 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Fatore $4$ de $12$ .

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 (3)) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Etapa 2.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$12 \log_{3} (y) = \frac{\log_{3} (16)}{4} \cdot (4 \cdot 3) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Etapa 2.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$12 \log_{3} (y) = \log_{3} (16) \cdot 3 + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Etapa 2.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $\log_{3} (16)$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \cdot \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot 12$

Etapa 2.3.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.1.3.1

Fatore $3$ de $12$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 (4))$

Etapa 2.3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \frac{\log_{3} (64)}{3} \cdot (3 \cdot 4)$

Etapa 2.3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + \log_{3} (64) \cdot 4$

Etapa 2.3.1.4

Mova $4$ para a esquerda de $\log_{3} (64)$ .

$12 \log_{3} (y) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $12 \log_{3} (y)$ movendo $12$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (y^{12}) = 3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Simplifique $3 \log_{3} (16) + 4 \log_{3} (64)$ .

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Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1.1

Simplifique $3 \log_{3} (16)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (16^{3}) + 4 \log_{3} (64)$

Etapa 4.1.1.2

Eleve $16$ à potência de $3$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + 4 \log_{3} (64)$

Etapa 4.1.1.3

Simplifique $4 \log_{3} (64)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (64^{4})$

Etapa 4.1.1.4

Eleve $64$ à potência de $4$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096) + \log_{3} (16777216)$

Etapa 4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (4096 \cdot 16777216)$

Etapa 4.1.3

Multiplique $4096$ por $16777216$ .

$\log_{3} (y^{12}) = \log_{3} (68719476736)$

Etapa 5

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$y^{12} = 68719476736$

Etapa 6

Resolva $y$ .

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Etapa 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[12]{68719476736}$

Etapa 6.2

Simplifique $\pm \sqrt[12]{68719476736}$ .

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Etapa 6.2.1

Reescreva $68719476736$ como $8^{12}$ .

$y = \pm \sqrt[12]{8^{12}}$

Etapa 6.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = \pm 8$

Etapa 6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 8$

Etapa 6.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 8$

Etapa 6.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 8, - 8$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\log_{3} (y) = \frac{1}{4} \cdot \log_{3} (16) + \frac{1}{3} \cdot \log_{3} (64)$ verdadeira.

$y = 8$