Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Etapa 1

Reescreva a equação como $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = y$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $2$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} \cdot 2 = y \cdot 2$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{x} + e^{- x} = y \cdot 2$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$e^{x} + e^{- x} = 2 y$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{- x}$ como exponenciação.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 2 y$

Etapa 4.2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 2 y$

Etapa 4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 2 y$

Etapa 4.4

Resolva $u$ .

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Etapa 4.4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 4.4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 4.4.2

Multiplique cada termo em $u + \frac{1}{u} = 2 y$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique cada termo em $u + \frac{1}{u} = 2 y$ por $u$ .

$u \cdot u + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Etapa 4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Etapa 4.4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 4.4.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{1}{u} u = 2 y u$

Etapa 4.4.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$u^{2} + 1 = 2 y u$

Etapa 4.4.3

Resolva a equação.

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Etapa 4.4.3.1

Subtraia $2 y u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 1 - 2 y u = 0$

Etapa 4.4.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.4.3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2 y$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.3.4.1.1

Reescreva $4 \cdot 1 \cdot 1$ como ${(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot 1)}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = - 2 y$ e $b = 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.3

Simplifique.

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Etapa 4.4.3.4.1.3.1

Fatore $2$ de $- 2 y + 2 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 4.4.3.4.1.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 \cdot 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.3.1.2

Fatore $2$ de $2 \cdot 1 \cdot 1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.3.1.3

Fatore $2$ de $2 (- y) + 2 (1 \cdot 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1 \cdot 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.3.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.3.3

Combine expoentes.

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Etapa 4.4.3.4.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - (2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.3.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.3.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (- 2 y - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.4

Fatore $2$ de $- 2 y - 2$ .

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Etapa 4.4.3.4.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2 y$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) - 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y) + 2 (- 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.4.3

Fatore $2$ de $2 (- y) + 2 (- 1)$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2 (- y + 1) \cdot (2 (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{4 (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.6

Reescreva $4 (- y + 1) (- y - 1)$ como $2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))$ .

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Etapa 4.4.3.4.1.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.6.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} (- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.6.3

Adicione parênteses.

$u = \frac{2 y \pm \sqrt{2^{2} ((- y + 1^{2}) (- y - 1))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1^{2}) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.1.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.4.3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$

Etapa 4.4.3.4.3

Simplifique $\frac{2 y \pm 2 \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}}{2}$ .

$u = y \pm \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Etapa 4.4.3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

$u = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Etapa 4.5

Substitua $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Etapa 4.6

Resolva $y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

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Etapa 4.6.1

Reescreva a equação como $e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Etapa 4.6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Etapa 4.6.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 4.6.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Etapa 4.6.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Etapa 4.6.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Etapa 4.7

Substitua $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$

Etapa 4.8

Resolva $y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)} = e^{x}$ .

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Etapa 4.8.1

Reescreva a equação como $e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$ .

$e^{x} = y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)}$

Etapa 4.8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Etapa 4.8.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 4.8.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Etapa 4.8.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Etapa 4.8.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

Etapa 4.9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y + \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$

$x = \ln (y - \sqrt{(- y + 1) (- y - 1)})$