Pré-cálculo Exemplos

${(y^{2} + 4 y)}^{2} + 7 (y^{2} + 4 y) + 12 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Deixe $u = y^{2} + 4 y$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y^{2} + 4 y$ .

$u^{2} + 7 u + 12 = 0$

Etapa 1.2

Fatore $u^{2} + 7 u + 12$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $7$ .

$3, 4$

Etapa 1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u + 3) (u + 4) = 0$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2} + 4 y$ .

$(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

Etapa 3

Defina $y^{2} + 4 y + 3$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 3.1

Defina $y^{2} + 4 y + 3$ como igual a $0$ .

$y^{2} + 4 y + 3 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $y^{2} + 4 y + 3 = 0$ para $y$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $y^{2} + 4 y + 3$ usando o método AC.

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Etapa 3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(y + 1) (y + 3) = 0$

Etapa 3.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

$y + 3 = 0$

Etapa 3.2.3

Defina $y + 1$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 3.2.3.1

Defina $y + 1$ como igual a $0$ .

$y + 1 = 0$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - 1$

Etapa 3.2.4

Defina $y + 3$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 3.2.4.1

Defina $y + 3$ como igual a $0$ .

$y + 3 = 0$

Etapa 3.2.4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = - 3$

Etapa 3.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(y + 1) (y + 3) = 0$ verdadeiro.

$y = - 1, - 3$

Etapa 4

Defina $y^{2} + 4 y + 4$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 4.1

Defina $y^{2} + 4 y + 4$ como igual a $0$ .

$y^{2} + 4 y + 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $y^{2} + 4 y + 4 = 0$ para $y$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y^{2} + 4 y + 2^{2} = 0$

Etapa 4.2.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 y = 2 \cdot y \cdot 2$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva o polinômio.

$y^{2} + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Etapa 4.2.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = y$ e $b = 2$ .

${(y + 2)}^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Defina $y + 2$ como igual a $0$ .

$y + 2 = 0$

Etapa 4.2.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = - 2$

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $(y^{2} + 4 y + 3) (y^{2} + 4 y + 4) = 0$ verdadeiro.

$y = - 1, - 3, - 2$