Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{4} \cdot \csc (x + \frac{π}{4})$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\csc (x + \frac{π}{4})$ .

$y = \frac{\csc (x + \frac{π}{4})}{4}$

Etapa 2

Em qualquer $y = \csc (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = \frac{\csc (x + \frac{π}{4})}{4}$ . Defina a parte interna da função cossecante, $b x + c$ , para $y = a \csc (b x + c) + d$ igual a $0$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = \frac{\csc (x + \frac{π}{4})}{4}$ .

$x + \frac{π}{4} = 0$

Etapa 3

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 4

Defina a parte interna da função cossecante $x + \frac{π}{4}$ como igual a $2 π$ .

$x + \frac{π}{4} = 2 π$

Etapa 5

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $\frac{π}{4}$ dos dois lados da equação.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.3

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 6

O período básico para $y = \frac{\csc (x + \frac{π}{4})}{4}$ ocorrerá em $(- \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4})$ , em que $- \frac{π}{4}$ e $\frac{7 π}{4}$ são assíntotas verticais.

$(- \frac{π}{4}, \frac{7 π}{4})$

Etapa 7

Encontre o período $\frac{2 π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais. Elas ocorrem a cada meio período.

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Etapa 7.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.2

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8

As assíntotas verticais de $y = \frac{\csc (x + \frac{π}{4})}{4}$ ocorrem em $- \frac{π}{4}$ , $\frac{7 π}{4}$ e a cada $x = - \frac{π}{4} + π n$ , em que $n$ é um número inteiro. Isso é metade do período.

$x = - \frac{π}{4} + π n$

Etapa 9

A cossecante só tem assíntotas verticais.

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = - \frac{π}{4} + π n$ , em que $n$ é um número inteiro

Etapa 10