Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$

Etapa 1

Defina $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 8 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + 16 x^{2} = 0$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

Etapa 2.1.1.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 8 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16 = 0$

Etapa 2.1.1.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} - 8 x) + x^{2} \cdot 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 2.1.2.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 2.1.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro. A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que ela aparece.

$x = 0$ (Multiplicidade de $2$ )

$x = 4$ (Multiplicidade de $2$ )

$x = 0$ (Multiplicidade de $2$ )

$x = 4$ (Multiplicidade de $2$ )

Etapa 3