Pré-cálculo Exemplos

$p (x) = 3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$

Etapa 1

Defina $3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8$ como igual a $0$ .

$3 x^{4} + 7 x^{3} - 10 x^{2} - 28 x - 8 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$7 x^{3} - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $7 x$ de $7 x^{3} - 28 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Fatore $7 x$ de $7 x^{3}$ .

$7 x (x^{2}) - 28 x + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 2.1.2.2

Fatore $7 x$ de $- 28 x$ .

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 2.1.2.3

Fatore $7 x$ de $7 x (x^{2}) + 7 x (- 4)$ .

$7 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 2.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$7 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$7 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 2.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 2.1.5

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 {(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} - 8 = 0$

Etapa 2.1.6

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Etapa 2.1.7

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e cuja soma é $b = - 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.1.1

Fatore $- 10$ de $- 10 u$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} - 10 u - 8 = 0$

Etapa 2.1.7.1.2

Reescreva $- 10$ como $2$ mais $- 12$

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + (2 - 12) u - 8 = 0$

Etapa 2.1.7.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Etapa 2.1.7.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.7.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$7 x (x + 2) (x - 2) + 3 u^{2} + 2 u - 12 u - 8 = 0$

Etapa 2.1.7.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$7 x (x + 2) (x - 2) + u (3 u + 2) - 4 (3 u + 2) = 0$

Etapa 2.1.7.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u + 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 u + 2) (u - 4) = 0$

Etapa 2.1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 2.1.9

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 2.1.10

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 2.1.10.2

Remova os parênteses desnecessários.

$7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 2.1.11

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $7 x (x + 2) (x - 2) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.11.1

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $7 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 2.1.11.2

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(3 x^{2} + 2) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.1.11.3

Fatore $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (7 x) + (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 x + 3 x^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.1.12

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (7 u + 3 u^{2} + 2) = 0$

Etapa 2.1.13

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.13.1

Reordene os termos.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 u + 2) = 0$

Etapa 2.1.13.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ e cuja soma é $b = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.13.2.1

Fatore $7$ de $7 u$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 7 (u) + 2) = 0$

Etapa 2.1.13.2.2

Reescreva $7$ como $1$ mais $6$

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + (1 + 6) u + 2) = 0$

Etapa 2.1.13.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + 1 u + 6 u + 2) = 0$

Etapa 2.1.13.2.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 u^{2} + u + 6 u + 2) = 0$

Etapa 2.1.13.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.13.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 2) (x - 2) ((3 u^{2} + u) + 6 u + 2) = 0$

Etapa 2.1.13.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 2) (x - 2) (u (3 u + 1) + 2 (3 u + 1)) = 0$

Etapa 2.1.13.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 u + 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 u + 1) (u + 2)) = 0$

Etapa 2.1.14

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.14.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x + 1) (x + 2)) = 0$

Etapa 2.1.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x + 2) = 0$

Etapa 2.1.15

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.15.1

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Etapa 2.1.15.2

Eleve $x + 2$ à potência de $1$ .

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Etapa 2.1.15.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Etapa 2.1.15.4

Some $1$ e $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.5

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $3 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 1$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 2)}^{2} (x - 2) (3 x + 1) = 0$ verdadeiro. A multiplicidade de uma raiz é o número de vezes que ela aparece.

$x = - 2$ (Multiplicidade de $2$ )

$x = 2$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - 2$ (Multiplicidade de $2$ )

$x = 2$ (Multiplicidade de $1$ )

$x = - \frac{1}{3}$ (Multiplicidade de $1$ )

Etapa 3