Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{225} + \frac{y^{2}}{625} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 25$

$b = 15$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(25)}^{2} - {(15)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$\sqrt{625 - {(15)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$\sqrt{625 - 1 \cdot 225}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $225$ .

$\sqrt{625 - 225}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $225$ de $625$ .

$\sqrt{400}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $400$ como $20^{2}$ .

$\sqrt{20^{2}}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$20$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 25)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(0, 25)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (25))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(0, - 25)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 20)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(0, 20)$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (20))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(0, - 20)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(25)}^{2} - {(15)}^{2}}}{25}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{625 - 15^{2}}}{25}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{625 - 1 \cdot 225}}{25}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $225$ .

$\frac{\sqrt{625 - 225}}{25}$

Etapa 8.3.1.4

Subtraia $225$ de $625$ .

$\frac{\sqrt{400}}{25}$

Etapa 8.3.1.5

Reescreva $400$ como $20^{2}$ .

$\frac{\sqrt{20^{2}}}{25}$

Etapa 8.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{20}{25}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $20$ e $25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $5$ de $20$ .

$\frac{5 (4)}{25}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $5$ de $25$ .

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{5}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 25)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 25)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 20)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 20)$

Excentricidade: $\frac{4}{5}$

Etapa 10