Pré-cálculo Exemplos

$2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$

Etapa 1

Fatore $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 7, \pm 3.5$

Etapa 1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$2 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Etapa 1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 1 - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 - 11 \cdot 1^{2} + 16 \cdot 1 - 7$

Etapa 1.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$2 - 11 \cdot 1 + 16 \cdot 1 - 7$

Etapa 1.3.5

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$2 - 11 + 16 \cdot 1 - 7$

Etapa 1.3.6

Subtraia $11$ de $2$ .

$- 9 + 16 \cdot 1 - 7$

Etapa 1.3.7

Multiplique $16$ por $1$ .

$- 9 + 16 - 7$

Etapa 1.3.8

Some $- 9$ e $16$ .

$7 - 7$

Etapa 1.3.9

Subtraia $7$ de $7$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7}{x - 1}$

Etapa 1.5

Divida $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ por $x - 1$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$16 x$

$7$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 9 x^{2} + 9 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							+	$7 x$	-	$7$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x - 7$ .

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							-	$7 x$	+	$7$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$9 x$	+	$7$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	+	$16 x$	-	$7$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$16 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$
							+	$7 x$	-	$7$
							-	$7 x$	+	$7$
										$0$

Etapa 1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$2 x^{2} - 9 x + 7$

Etapa 1.6

Escreva $2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 7$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (2 x^{2} - 9 x + 7)$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ e cuja soma é $b = - 9$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 x$ .

$(x - 1) (2 x^{2} - 9 (x) + 7)$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva $- 9$ como $- 2$ mais $- 7$

$(x - 1) (2 x^{2} + (- 2 - 7) x + 7)$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 1) (2 x^{2} - 2 x - 7 x + 7)$

Etapa 2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) ((2 x^{2} - 2 x) - 7 x + 7)$

Etapa 2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) (2 x (x - 1) - 7 (x - 1))$

Etapa 2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$(x - 1) ((x - 1) (2 x - 7))$

Etapa 2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x - 1) (2 x - 7)$

Etapa 3

Combine como fatores.

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Etapa 3.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

${(x - 1)}^{1} (x - 1) (2 x - 7)$

Etapa 3.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

${(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1} (2 x - 7)$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 1)}^{1 + 1} (2 x - 7)$

Etapa 3.4

Some $1$ e $1$ .

${(x - 1)}^{2} (2 x - 7)$