Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$

Etapa 1

Fatore $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 1.3

Substitua $- 1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.3.1

Substitua $- 1$ no polinômio.

${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 4$

Etapa 1.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 - {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 4$

Etapa 1.3.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - - 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 + 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

Etapa 1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$2 - 2 \cdot - 1 - 4$

Etapa 1.3.6

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 + 2 - 4$

Etapa 1.3.7

Some $2$ e $2$ .

$4 - 4$

Etapa 1.3.8

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 1.4

Como $- 1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x + 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 2 x - 4}{x + 1}$

Etapa 1.5

Divida $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ por $x + 1$ .

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Etapa 1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

Etapa 1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

Etapa 1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} + x^{3}$ .

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

Etapa 1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$

Etapa 1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Etapa 1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} - 2 x^{2}$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Etapa 1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

Etapa 1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

Etapa 1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

Etapa 1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Etapa 1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} + 2 x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

Etapa 1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

Etapa 1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

Etapa 1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

Etapa 1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
									-	$4 x$	-	$4$
									-	$4 x$	-	$4$

Etapa 1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x - 4$ .

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Etapa 1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Etapa 1.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$

Etapa 1.6

Escreva $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ como um conjunto de fatores.

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4)$

Etapa 2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x + 1) ((x^{3} - 2 x^{2}) + 2 x - 4)$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x + 1) (x^{2} (x - 2) + 2 (x - 2))$

Etapa 3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 2$ .

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Etapa 3.1

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 2$ .

$(x + 1) ((x - 2) (x^{2} + 2))$

Etapa 3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 2)$