Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 4$

Etapa 1

Reagrupe os termos.

$3 x^{3} - 3 x^{2} + x^{4} + 3 x - 4$

Etapa 2

Fatore $3 x^{2}$ de $3 x^{3} - 3 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $3 x^{2}$ de $3 x^{3}$ .

$3 x^{2} (x) - 3 x^{2} + x^{4} + 3 x - 4$

Etapa 2.2

Fatore $3 x^{2}$ de $- 3 x^{2}$ .

$3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 1) + x^{4} + 3 x - 4$

Etapa 2.3

Fatore $3 x^{2}$ de $3 x^{2} (x) + 3 x^{2} (- 1)$ .

$3 x^{2} (x - 1) + x^{4} + 3 x - 4$

Etapa 3

Fatore $x^{4} + 3 x - 4$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 3.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{4} + 3 \cdot 1 - 4$

Etapa 3.3.2

Eleve $1$ à potência de $4$ .

$1 + 3 \cdot 1 - 4$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$1 + 3 - 4$

Etapa 3.3.4

Some $1$ e $3$ .

$4 - 4$

Etapa 3.3.5

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 3.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{4} + 3 x - 4}{x - 1}$

Etapa 3.5

Divida $x^{4} + 3 x - 4$ por $x - 1$ .

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Etapa 3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Etapa 3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

Etapa 3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

Etapa 3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Etapa 3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Etapa 3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

Etapa 3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

Etapa 3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

Etapa 3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

Etapa 3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

Etapa 3.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

Etapa 3.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

Etapa 3.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Etapa 3.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x - 4$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

Etapa 3.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$3 x$

$x^{2}$

$x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

Etapa 3.5.21

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{3} + x^{2} + x + 4$

Etapa 3.6

Escreva $x^{4} + 3 x - 4$ como um conjunto de fatores.

$3 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$

Etapa 4

Fatore $x - 1$ de $3 x^{2} (x - 1) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $x - 1$ de $3 x^{2} (x - 1)$ .

$(x - 1) (3 x^{2}) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$

Etapa 4.2

Fatore $x - 1$ de $(x - 1) (3 x^{2}) + (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 4)$ .

$(x - 1) (3 x^{2} + x^{3} + x^{2} + x + 4)$

Etapa 5

Some $3 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} + 4 x^{2} + x + 4)$

Etapa 6

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva $x^{3} + 4 x^{2} + x + 4$ em uma forma fatorada.

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Etapa 6.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x - 1) ((x^{3} + 4 x^{2}) + x + 4)$

Etapa 6.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$(x - 1) (x^{2} (x + 4) + 1 (x + 4))$

Etapa 6.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 4$ .

$(x - 1) ((x + 4) (x^{2} + 1))$

Etapa 6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x + 4) (x^{2} + 1)$