Pré-cálculo Exemplos

$\frac{3}{x + 6} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} - \frac{20}{x - 6}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{3}{x + 6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$ .

$\frac{3}{x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} - \frac{20}{x - 6}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{6 x}{x^{2} - 36}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{3}{x + 6} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{20}{x - 6}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 6) (x^{2} - 36)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{3}{x + 6}$ por $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} - 36}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} + \frac{6 x}{x^{2} - 36} \cdot \frac{x + 6}{x + 6} - \frac{20}{x - 6}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{6 x}{x^{2} - 36}$ por $\frac{x + 6}{x + 6}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} + \frac{6 x (x + 6)}{(x^{2} - 36) (x + 6)} - \frac{20}{x - 6}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} - 36) (x + 6)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} + \frac{6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20}{x - 6}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20}{x - 6}$

Etapa 5

Para escrever $\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{20}{x - 6}$

Etapa 6

Para escrever $- \frac{20}{x - 6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ .

$\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} - \frac{20}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)} - \frac{20}{x - 6} \cdot \frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{20}{x - 6}$ por $\frac{(x + 6) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x^{2} - 36)}$ .

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)} - \frac{20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x - 6) ((x + 6) (x^{2} - 36))}$

Etapa 7.3

Reordene os fatores de $(x + 6) (x^{2} - 36) (x - 6)$ .

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x - 6) ((x + 6) (x^{2} - 36))}$

Etapa 7.4

Reordene os fatores de $(x - 6) ((x + 6) (x^{2} - 36))$ .

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)} - \frac{20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9

Reescreva $\frac{(3 (x^{2} - 36) + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x^{2} + 3 \cdot - 36 + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $3$ por $- 36$ .

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x (x + 6)) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 6) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 9.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 6) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x^{2} + 6 x \cdot 6) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $6$ por $6$ .

$\frac{(3 x^{2} - 108 + 6 x^{2} + 36 x) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.2

Some $3 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{(9 x^{2} - 108 + 36 x) (x - 6) - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.3

Expanda $(9 x^{2} - 108 + 36 x) (x - 6)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{9 x^{2} x + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 9.4.1.1

Mova $x$ .

$\frac{9 (x \cdot x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.4.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 9.4.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{9 (x^{1} x^{2}) + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 x^{1 + 2} + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.4.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{9 x^{3} + 9 x^{2} \cdot - 6 - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.4.2

Multiplique $- 6$ por $9$ .

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x - 108 \cdot - 6 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.4.3

Multiplique $- 108$ por $- 6$ .

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 x \cdot x + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.4.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 9.4.4.1

Mova $x$ .

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 (x \cdot x) + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.4.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 x^{2} + 36 x \cdot - 6 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.4.5

Multiplique $- 6$ por $36$ .

$\frac{9 x^{3} - 54 x^{2} - 108 x + 648 + 36 x^{2} - 216 x - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.5

Some $- 54 x^{2}$ e $36 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 108 x + 648 - 216 x - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.6

Subtraia $216 x$ de $- 108 x$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 ((x + 6) (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.7

Expanda $(x + 6) (x^{2} - 36)$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x (x^{2} - 36) + 6 (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 + 6 (x^{2} - 36))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x \cdot x^{2} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.8

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.8.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 9.8.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 9.8.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{1} x^{2} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.8.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{1 + 2} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.8.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{3} + x \cdot - 36 + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.8.2

Mova $- 36$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{3} - 36 x + 6 x^{2} + 6 \cdot - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.8.3

Multiplique $6$ por $- 36$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 (x^{3} - 36 x + 6 x^{2} - 216)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.9

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} - 20 (- 36 x) - 20 (6 x^{2}) - 20 \cdot - 216}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.10

Simplifique.

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Etapa 9.10.1

Multiplique $- 36$ por $- 20$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} + 720 x - 20 (6 x^{2}) - 20 \cdot - 216}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.10.2

Multiplique $6$ por $- 20$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} + 720 x - 120 x^{2} - 20 \cdot - 216}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.10.3

Multiplique $- 20$ por $- 216$ .

$\frac{9 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 - 20 x^{3} + 720 x - 120 x^{2} + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.11

Subtraia $20 x^{3}$ de $9 x^{3}$ .

$\frac{- 11 x^{3} - 18 x^{2} - 324 x + 648 + 720 x - 120 x^{2} + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.12

Subtraia $120 x^{2}$ de $- 18 x^{2}$ .

$\frac{- 11 x^{3} - 138 x^{2} - 324 x + 648 + 720 x + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.13

Some $- 324 x$ e $720 x$ .

$\frac{- 11 x^{3} - 138 x^{2} + 396 x + 648 + 4320}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.14

Some $648$ e $4320$ .

$\frac{- 11 x^{3} - 138 x^{2} + 396 x + 4968}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.15

Reescreva $- 11 x^{3} - 138 x^{2} + 396 x + 4968$ em uma forma fatorada.

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Etapa 9.15.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 9.15.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- 11 x^{3} - 138 x^{2}) + 396 x + 4968}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.15.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x^{2} (- 11 x - 138) - 36 (- 11 x - 138)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.15.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 11 x - 138$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x^{2} - 36)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.15.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x^{2} - 6^{2})}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.15.4

Fatore.

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Etapa 9.15.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$\frac{(- 11 x - 138) ((x + 6) (x - 6))}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.15.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 36)}$

Etapa 9.16

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x^{2} - 6^{2})}$

Etapa 9.17

Fatore.

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Etapa 9.17.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 6$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

Etapa 9.17.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6) (x + 6) (x - 6)}$

Etapa 9.18

Combine expoentes.

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Etapa 9.18.1

Eleve $x + 6$ à potência de $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{1} (x + 6) (x - 6) (x - 6)}$

Etapa 9.18.2

Eleve $x + 6$ à potência de $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{1} {(x + 6)}^{1} (x - 6) (x - 6)}$

Etapa 9.18.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{1 + 1} (x - 6) (x - 6)}$

Etapa 9.18.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} (x - 6) (x - 6)}$

Etapa 9.18.5

Eleve $x - 6$ à potência de $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} ({(x - 6)}^{1} (x - 6))}$

Etapa 9.18.6

Eleve $x - 6$ à potência de $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} ({(x - 6)}^{1} {(x - 6)}^{1})}$

Etapa 9.18.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{1 + 1}}$

Etapa 9.18.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$

Etapa 9.19

Reduza a expressão $\frac{(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 9.19.1

Fatore $x + 6$ de $(- 11 x - 138) (x + 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x + 6) ((- 11 x - 138) (x - 6))}{{(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}}$

Etapa 9.19.2

Fatore $x + 6$ de ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{(x + 6) ((- 11 x - 138) (x - 6))}{(x + 6) ((x + 6) {(x - 6)}^{2})}$

Etapa 9.19.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 6) ((- 11 x - 138) (x - 6))}{(x + 6) ((x + 6) {(x - 6)}^{2})}$

Etapa 9.19.4

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 11 x - 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

Etapa 10

Fatore $- 1$ de $- 11 x - 138$ .

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Etapa 10.1

Fatore $- 1$ de $- 11 x$ .

$\frac{(- (11 x) - 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

Etapa 10.2

Reescreva $- 138$ como $- 1 (138)$ .

$\frac{(- (11 x) - 1 (138)) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

Etapa 10.3

Fatore $- 1$ de $- (11 x) - 1 (138)$ .

$\frac{- (11 x + 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

Etapa 11

Reduza a expressão $\frac{- (11 x + 138) (x - 6)}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

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Etapa 11.1

Fatore $x - 6$ de $- (11 x + 138) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 6) (- (11 x + 138))}{(x + 6) {(x - 6)}^{2}}$

Etapa 11.2

Fatore $x - 6$ de $(x + 6) {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (- (11 x + 138))}{(x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 6) (- (11 x + 138))}{(x - 6) ((x + 6) (x - 6))}$

Etapa 11.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- (11 x + 138)}{(x + 6) (x - 6)}$